【摘 要】本文给出了数列的极限、函数的极限、函数在区间上的一致连续性、不一致连续性等概念的正反叙述、应用及其重要判别办法，使我们能够从正反方面来更加深刻理解这些概念的内涵。
【关键词】极限；一致连续性；收敛；一致收敛
在微积分学中经常会遇到一些重要概念的定义，如极限的定义，函数在一个集合上的一致连续性的定义，级数或广义积分的一致连续性定义等。为更好的掌握这些概念以及更好的利用这些概念取得到一些新的结果，新的命题，往往需要从反面来了解这些概念。
１．数列的极限
（1）数列{x■}以a为极限，并记作■x■=a，是指：任给?着>0，存在自然数N，使当n>N时，总有x■-a
若a=0，则称数列{x■}为无穷小量。因此无穷小量不是一个数，而是一个以0为极限的数字数列。
首先我们指出下列几种说法是错误的：
①当n越大时，x■-a越小，则■x■=a
事实上，取x■=-n，a=0，则n越大时，x■-a=-n越小，但显然{-n}无极限。
②当n越大时， x■-a越来越向零靠拢，则■x■=a
事实上，取x■=2+■，a=1，则 x■-a=1+■，显然，当n越大时， x■-a越来越向零靠拢，但 x■-a?叟1，因此{x■}不是以1为极限。
③若任给?着>0，存在自然数N，当n>N时，总有无穷多个x■满足 x■-a
事实上，取x■=1,n是偶数■，n是奇数
则对任意的N，有无穷多个n=2m+1,m=1,2,···，使x■=x■=■
④任给N>0,存在?着>0，使得当n>N时，总有 x■-a
事实上，取x■= 1,n是偶数-1， n是奇数
显然{x■}没有极限，否则取?着=■，由式 x■-a
但当n为奇数时，有-1-?着 但(1)与(2)是矛盾的。 另一方面，取a=0，对任意的自然数N，取?着=2，总有 x■-a=±1-0<2，故{x■}满足④中要求，但{x■}没有极限。 我们指出下列几个命题是成立的。 命题1 （唯一性）若{x■}有极限，则必唯一。 命题2 无穷多个无穷小量之和不一定为无穷小量。 事实上，取■,■,■，··· 他们每一个都是无穷小量，但我们知道 ■■+■+···+■=1 因此不是无穷小量。 （2）数列{x■}不以a为极限。 要叙述一个命题的逆命题，必须遵循两条原则： ①逆命题与原命题不能同时成立； ②若原命题不成立，则逆命题一定成立，反之亦然（两者必居其一）。 用集合论的术语来描写，设原命题为A,则逆命题为■，因此满足：①A∩■＝?椎，②A∩■＝?赘 因此用下面的说法来定义{x■}不是无穷小量，全部都是错误的。 ①任给?着>0，存在自然数N，使得当n>N时，永远有 x■>?着。 取例：-■,■,-■,■··· 它既不是无穷小量，也不是1.因为取?着=1即是。 我们知道，这实际上是无穷大量的定义。 ②任给?着>0，找不到自然数N，使得当n>N时，总有 x■ 取例：1,2,1,2，… 取?着=3，就不满足2，显然它不是无穷小量。 ③任给?着>0，存在自然数N，使得当n>N时，总有 x■-b 取例：0,b,0,b·· 取?着=■，显然不满足3，但它也不是无穷小量。 ④任给N>0，可以找到?着>0及n>N使 x■>?着。 取x■=■，因此■x■=0,但也满足4，因为任给N>0，取?着=■，则取n=N+1，就满足 x■=■?叟?着=■,这是属于A∪B≠?赘的情况。 ⑤存在?着>0以及N>0使当n>N时，总有 x■?叟?着。 显然对1,1,2，■,3，■···具有上述性质的?着>0找不到，但它也不是无穷小量，这是属于A∪B≠?赘的情况。 ⑥存在?着>0，使对任何N，当n>N时，总有 x■?叟?着 这是上述5的特殊情况，上例已经说明问题。 为了正确的叙述{x■}不是无穷小量的逆命题，我们在叙述一下正命题，任给?着>0，存在N，当n>N时，总有 x■ ①存在一个?着>0，使得具有上述性质的N不存在； ②存在一个?着>0，使得对任意的N，不能对所有的n，当n>N时，能满足 x■ ③存在一个?着>0，使得对任意的N，有n>N，使 x■?叟?着； 这才是正确的逆命题，当然3还有一个等价的叙述： ④存在一个?着>0，及自然数子序列{n■},n■→∞，使 x■?叟?着 事实上，由4推出3是显然的，只要注意到n■→∞即可，现证明由3推出4，事实上，先取N=1，有n=n■使 x■?叟?着，这样一直进行下去，可用数学归纳法来证明。 对于数列{x■}不以a为极限的叙述就显然的了：存在?着>0，使得对任意的N ，存在n>N有x■-a?叟?着>0。 （3）数列{x■}有极限的柯西准则为：任给?着>0，存在自然数N，使当n>N时，对任意的自然数m，总有x■-x■ （4）数列{x■}没有极限的柯西准则为：存在?着>0，使对任意的N， 存在n>N，及自然数m，使x■-x■?叟?着>0。 这里的关键是将原命题中所有的“任给”换为“存在”，将所有的“存在”换为“任给”后就可以得到逆命题。 2.函数的极限 （1）设函数f(x)定义在0 是指：任给?着>0，存在数?啄>0，使当0 （2）函数f(x)当x→x■时不以A为极限：存在?着>0，对任给s>0(s>R），存在x■，0 命题4 要使函数f(x)当x→x■时，不以A为极限的充要条件是：存在?着>0，使得存在一串x■→x■(x■≠x■)满足f(x■)-A ?叟?着>0 命题5 要使函数f(x)当x→x■时，以A为极限的充要条件是：对任意的{x■}，x■→x■(x■≠x■)，有f(x■)→A。 （3）函数f(x)当x→x■时，有根据的哥西准则为：任给?着>0，存在s>0，使当0 这个准则在很多理论问题的证明中式很有用的，因此由此可以知道 ■f(x)存在。 例如设函数f(x)定义在[a,+∞)，且在任意有界区间[a,u]上可积，若■■f(x)dx存在，则说明积分■f(x)dx收敛，其值就是上面的极限值，否则积分发散。故无积分■f(x)dx收敛与否，取决于函数F（u)=■f(x)dx在u→+∞时是否存在极限。因此根据哥西准则，要使积分■f(x)dx收敛的充要条件是：任给?着>0，存在B?叟a，使当u■>B,u■>B时，都有： ■f(x)dx-■f(x)dx=■f(x)dx 同样，若■f(x)dx收敛，则说明积分■f(x)dx绝对收敛，因此根据哥西准则，要使■f(x)dx是绝对收敛的充要条件：任给?着>0，存在B■?叟a，使当u■>B■,u■>B■时都有■f(x)dx 命题6 设函数f(x)定义在[a,+∞)，且在任何有限区间上可积，则 ①设存在数B，使当x?叟B时，有 f(x)?燮?渍(x)，则由■?渍(x)dx收敛，可以推出■f(x)dx也收敛，若 f(x)?叟?渍(x)>0(x>B),则从■?渍(x)dx发散，可以推出■f(x)dx也发散。 ②若■■=l 则0?燮l<+∞当时，由■?渍(x)dx收敛，可推出■f(x)dx也收敛。 由0 进一步，还有更细的判别法 命题7 （狄利克雷Dirichlet判别法）若F（u)=■f(x)dx在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上当x→+∞时单调趋于0，则■f(x)g(x)dx收敛。 证:由条件设■f(x)dx?燮M，u∈[a,+∞)，任给?着>0，由于■g(x)=0，由此存在G?叟a，当x>G时，有 g(x)<■。 又因为g(x)为单调函数，利用积分第二中值定理，对任何u■>u■>G，存在?孜∈[u■,u■]使■f(x)g(x)dx=g(u1)■f(x)dx+g(u■)■f(x)dx，于是有， ■f(x)g(x)dx?燮g(u1)■f(x)dx+g(u■)■f(x)dx= g(u1)■f(x)dx-■f(x)dx+g(u■)■f(x)dx-■f(x)dx<■·2m+■·2m=?着， 根据哥西准则■f(x)g(x)dx收敛。 由此看出，若我们不需要具体计算出积分得值，而只要判断一个积分是否收敛或绝对收敛，哥西准则是一个很强有力的办法。 （4）函数f(x)当x→x■时没有极限的哥西准则：存在?着>0，使对任意的s>0，存在x■与x■,0 命题8 要使f(x)当x→x■时没有极限的充要条件是：存在?着>0，及两个序列{xn}及{xn1}， x■→x■，xn1→x■(x■≠x■，xn1≠x■)，使f(x■)-f(xn1) ?叟?着>0。 3.函数在区间上的一直连续 一直连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其它学科中常常是很有用的。 （1）我们说，函数f(x)在区间E（可以是闭区间或开区间或半开半闭或无穷区间）上一致连续，即任给?着>0，s>0，使当x■，x■∈E且x■-x■ 若函数f(x)在有界闭区间[a,b]上连续，则他必在[a,b]上一致连续。 一直连续与连续的差别在于：当固定一点x=x■，在定义其连续时，上述s是依赖于点x=x■的选择，因此记作?啄(x■)，一般地说，当f(x)在x=x■附近较为陡峭时，?啄(x■)较小；但当f(x)在x=x■附近较为平滑时，?啄(x■)较大，全体?啄(x■),x■∈E可能没有正的下界，一致连续时对整体而言，实际上就要求全体?啄(x■)有一个正下界，记作s，因此这里的s就与点的位置无关了。 在研究函数的整体性质时，一致连续显得特别有用，例如在研究黎曼积分是否存在时，有下面的命题： 命题9 函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给?着>0，总存在相应的某一分割T,使得■w■?驻x■ 命题10 若函数f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上可积。 证：由于f在[a,b]上连续，因此在[a,b]上一致连续，这就是说，任给?着>0，存在?啄>0，对[a,b]中任意两点x"，x"，只要x"-x" 命题11 若f是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积。 下面我们举例说明，如何判断一个函数在区间上是一致连续的。 例1 从定义出发，证明f(x)=x■在[0,1]上一致连续。 证明：对任意的x■,x■∈[0,1]，我们有 f(x■)-f(x■)=x■-x■x■■+x■■x■+x■■x■■+x■x■■+x■■?燮5x■-x■ 因此任给?着>0，取?啄=■，当x■,x■∈[0,1]且x■-x■ （2）函数f(x)在区间E上不一致连续 从（1）中可看出，此时必须存在?着>0，使得对任意?啄>0，存在两点x■,x■∈E，x■-x■ 命题12 要使函数f(x)在区间E上不一致连续的充要条件是：存在?啄>0，存在两串数列x■" ，x■",使当■(x■"-x■")=0，但f(x■")-f(x■")?叟?着>0。 例2 证明函数f(x)=x■在[0,+∞)上不一致连续。 证明： 取x■"=n，x■"=n+■显然有■(x■"-x■")=■■=0， 但f(x■")-f(x■")=n■-n+■■=3n+■+■?叟3=?着。■ 【参考文献】 ［１］邵品琮编著.数学分析纵横谈.北京大学出版社，1991,5. ［２］华东师范数学系编著.数学分析.高等教育出版社，2003,6. ［３］郝涌,李学志等.数学分析考研精编.信阳师范学院数学系.