【摘要】根据厚板理论的基本解析解并采用四边形面积坐标，构造一个厚薄通用的板单元AATF-PQ4a。建立了基于面积坐标的单元刚度矩阵和采用不考虑转动惯量的集中质量矩阵，并采用子空间迭代法计算了板的固有频率，分析这个板单元的动力特性。数值算例表明：AATF-PQ4a单元计算结果和理论解及有限元软件ABAQUS的结果比较吻合， 说明在动力学范围内AATF-PQ4a单元能做到厚薄通用， 满足工程需要。
【关健词】面积坐标；解析试函数；固有频率；子空间迭代法
1.引言
结构的动力分析就是结构系统本身所固有的动力性能分析，是结构振动的内在因素，结构的固有振动分析不仅可以为工程设计及结构振动控制提供理论依据， 而且对我们了解结构振动的物理实质及分析结构对干扰力的响应等均有重要的意义。
本文将一种基于面积坐标解析试函数法构造的厚薄通用板单元AATF-PQ4a[1]由静力分析推广到动力分析，采用集中质量矩阵，最后用子空间迭代法对固有频率和振型进行求解。通过求解不同厚度四边固支方板的固有频率，验证该单元在动力学范围内也能做到厚薄通用。
2.基于面积坐标的厚薄通用板元
2.1 厚板理论的基本解析解
在不考虑横向荷载和惯性荷载以及边界效应时，厚板的控制微分方程[2，3]的解可以表示为：
（1）
其中：w，Ψx，Ψy分别为挠度，绕x轴和绕y轴的法线转角；D和C分别为板的抗弯刚度和抗剪刚度，F（x，y）是双调和函数，满足双调和方程：。假设F（x，y）为含12个待定常数的多项式，表示为：
2.2 单元的刚度矩阵和质量矩阵
由文献[1]可知位移和应变的表达式分别为：
3.数值算例
算例：边长为1m的四边固支方钢板，泊松比，密度，弹性模量E=1.092×1010N/m2。通过改变板厚，计算固有频率，将计算结果与理论解进行了比较，此外，表1还给出了ABAQUS的模拟值。
比较表1中的结果可以看出，随着板厚度增加，通过求解AATF-PQ4a单元和ABAQUS模拟获得的频率误差均有所增加，但最大误差在允许的范围内，这表明AATF-PQ4a单元在动力学范围内能做到厚薄通用。此外，还可以发现， 本文计算精度优于ABAQUS解。
4.结论
通过基于面积坐标解析试函数法的厚薄通用板单元AATF-PQ4a的固有振动分析及相应的算例验证，发现AATF-PQ4a单元在动力学范围内能做到厚薄通用，并具有在固有振动分析方面收敛速度快、数值稳定性好等优点，可以满足工程需要。
参考文献
[1]王丽，龙志飞等.基于面积坐标和解析试函数的厚薄通用板单元[J].应用力学学报，2014，31（2）：257-260.
[2]黄克智等.板壳理论[M].北京：清华大学出版社，1987.
[3]曹志远.板壳振动理论[M].北京：中国铁道出版社，1989.
[4]龙志飞，岑松.有限元法新论[M].中国水利水电出版社，2001.
[5]龙驭球，龙志飞，岑松.新型有限元法[M].北京：清华大学出版社，2004.
[6]吴鸿庆，任侠.结构有限元分析[M].北京：中国铁道出版社，2000.
[7]曹志远，杨升田.厚板动力学理论及其应用[M].北京：科学出版社，1983.
[8]曹国雄.弹性矩形薄板振动[M].北京：中国建筑工业出版社，1983.