【摘要】运用区间套定理给出了Rolle定理的证明,此外给出了Rolle定理的推广形式,同时通过引入开区间上的最值定理给出了其证明.
【关键词】Rolle定理；区间套定理；介质定理；连续；可导
基金项目：新疆昌吉学院科研基金项目（2010SSQD024）
一、引 言
微分中值定理是微积分学的重要理论组成部分,是研究函数性质的有力工具.它不仅沟通了函数及其导数的关系,同时也是微分学理论及应用的桥梁和基石.在通常的教材中,微分中值定理建立在Rolle定理之上,而Rolle定理是以“可导函数在其极值点导数为零”为基础,但反之导数为零的点不一定是极值点.此外,Rolle定理要求函数在闭区间连续、开区间可导以及端点的值相等,且三个条件缺一不可.我们知道这三个条件仅是结论成立的充分条件而非必要条件,导致其在应用上有很大的局限性,因此本文试图将Rolle定理做进一步推广并给出其证明.
二、预备知识
本文的证明要用到如下的预备知识及引理.
（介质定理）设函数f(x)在［a,b］上连续,且f(a)≠f(b).若C是介于f(a)和f(b)之间的任何实数,则至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)=C.
（最值定理）若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］上有最大值与最小值.
（区间套定理）设有一列闭区间{［an,bn］}满足：
（1）［an+1,bn+1］［an+1,bn+1］，即an≤an+1 （2）区间长度趋于零,即limn→∞(bn-an)=0，则存在ξ，使得limn→∞an=limn→∞bn=ξ，且ξ为所有闭区间唯一的公共点. 引理1 设函数f(x)在［a,b］上连续,f(a)=f(b),则存在c,d∈［a,b］，满足d-c=a-b2及f(c)=f(d). 证明 构造g(x)=fx+b-a2-f(x)，x∈a,a+b2，由f(x)的连续性知g(x)也连续.同时有g(a)=fa+b-a2-f(a)=fa+b2-f(a)，ga+b2=fa+b2+b-a2-fa+b2=f(b)-fa+b2. 当fa+b2=f(a)时,取c=a，d=a+b2即可. 当fa+b2≠f(a)时,由f(a)=f(b)知g(a)，ga+b2异号,故由介值定理知ξ∈a,a+b2，使得g(ξ)=fξ+b-a2-f(ξ)=0，此时取c=ξ,d=ξ+a+b2.证毕. 引理2 设函数f(x)在(a,b)上连续,且limn→a+f(x)=limn→b-f(x)=-∞，则函数f(x)在(a,b)内存在最大值. 证明 因为f(x)在(a,b)上连续且limn→a+f(x)=limn→b-f(x)=-∞，则必存在x0∈(a,b)，ε1,ε2>0，满足f(x) 引理3 设函数f(x)在(a,b)上连续,且limn→a+f(x)=limn→b-f(x)=+∞，则函数f(x)在(a,b)内存在最小值. 引理3的证明同引理2类似,故从略.引理2中f(x)无最小值,引理3中f(x)无最大值.此外,当limn→a+f(x)=+∞，limn→b-f(x)=-∞或limn→a+f(x)=-∞，limn→b-f(x)=+∞时,f(x)既无最小值也无最大值. 三、Rolle定理及推广形式的证明 （Rolle定理）设函数f(x)在［a,b］上连续,(a,b)上可导,f(a)=f(b),则必存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0. 证明 通过反复运用引理1,我们可以得到区间序列{［an,bn］}满足： （1）［a,b］［a1,b1］［a2,b2］… （2）f(an)=f(bn). （3）bn-an≤12n(b-a). 由区间套定理知必有ξ∈(a,b),使得limn→∞an=limn→∞bn=ξ，且an<ξ 由f(an)=f(bn)知f(an)-f(ξ)an-ξ•f(bn)-f(ξ)bn-ξ≤0.又因为f(x)在ξ可导,故limn→∞f(an)-f(ξ)an-ξ=limn→∞f(bn)-f(ξ)bn-ξ=f′(ξ).故有f′(ξ)=0.证毕. (Rolle定理的推广形式)设f(x)在(a,b)上可导(a,b可以为∞),且limx→a+f(x)=limx→b-f(x)存在（有限或为±∞）,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0. 证明 （1）当区间(a,b)为有限的情况. ①如果limx→a+f(x)=limx→b-f(x)=A有限,构造G(x)=f(x),x∈(a,b),A,x=a,b,显然G(x)满足Rolle定理，得ξ∈(a,b),使得G′(ξ)=f′(ξ)=0. ②如果limx→a+f(x)=limx→b-f(x)=±∞，则由引理2，引理3易知,ξ∈(a,b)，使得f(x)在ξ取得最值.又因为f(x)在(a,b)上可导,故f′(ξ)=0. （2）当区间(a,b)=(-∞,+∞)的情况. ③如果limx→-∞f(x)=limx→+∞f(x)=A有限,构造F(t)=f(tant)，t∈-π2，π2，则对F(t)运用类似①的方法知t0∈-π2,π2，使得F′(t0)=f′(tant0)sec2t0=0.又sec2t0≠0，故取ξ=tant0，得到f′(ξ)=0. ④如果limx→-∞f(x)=limx→+∞f(x)=±∞，结合②及③的方法重复证明即可. （3）当区间为(a,+∞)［或为(-∞,b)］的情况. ⑤我们证明(a,+∞)的情况.取b0>max{a,0}，构造函数H(t)=fb0-ab0-tt，t∈(a,b0)，易知H(t)在(a,b0)满足（1）的情况,limx→a+f(x)=limx→+∞f(x)=A及limx→a+f(x)=limx→+∞f(x)=±∞分别对应于①及②的情况,由前面讨论知t0∈(a,b0)，H′(t0)=f′b0-ab0-tt•(b0-a)b0(b0-a0)2=0，取ξ=(b0-a)t0b0-t0即证. ⑥当区间为(-∞,b)时,构造函数H(t)=fa0-ba0-tt，t∈(a0,b)，类似于⑤的证明,取ξ=(a0-b)t0a0-t0即证. 推论 设函数f(x)在［a，b)（或为(a,b］,a,b可以为∞）上连续,在(a,b)上可导,满足limx→b-f(x)=f(a)［或为limx→a+f(x)=f(b)］,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0. 显然由前面的证明易得出上述推论,由于证明类似,这里不再作详细证明. 四、结束语 本文通过运用实数的完备性理论中的区间套定理来给出Rolle定理的另一个证明.同时通过对Rolle定理的条件做进一步的讨论,给出了在区间端点不连续及无穷区间上的可导函数的定理的推广形式,拓展了其应用,同时也加深了我们对Rolle定理的理解.此外,由于Rolle定理是Lagrange中值定理及Cauchy中值定理的基础,因此本文的结论可以类似推广到Lagrange中值定理及Cauchy中值定理的情形,限于篇幅,留待进一步讨论. 【参考文献】 ［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2004. ［2］刘玉琏.数学分析讲义［M］.北京：高等教育出版社，1988. ［3］吉米多维奇.数学分析习题集题解［M］.山东：山东科学技术出版社,1999. ［4］钱吉林.数学分析题解精粹［M］.武汉：崇文书局,2003. 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文