摘要：本文简要介绍了绝缘子在电气工程领域的作用和运行方式，并利用基于有限元方法的原理，计算出了稳态时系数型偏微分方程各项在一维单元、三角形单元、四边形单元下的单元矩阵，并利用图标详细讲解了这一矩阵。本文还利用单元矩阵计算了35kV绝缘子的电位和电场分布，并给出了基于此原理的电气工程中的应用实际。
关键词：有限元 系数型偏微分方程 单元矩阵 35kV绝缘子
中图分类号：TM216 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2014）11-0094-01
绝缘子作为电力系统外绝缘的重要设备，起着紧固支撑和电气绝缘的作用，绝缘子表面的电位和电场分布对绝缘子伞形的设计、电气性能的改善有着重要作用，因此有必要结合工程实际，从理论上分析和计算绝缘子的电位和电场分布。有限元方法作为一种求解偏微分方程的数值方法，可以求解绝缘子的电位和电场分布，其基本核心是将求解域离散为单元，采用加权余量法形成单元矩阵，将不同的单元矩阵组合起来，构成整个求解域的刚度矩阵并进行代数方程的求解。
不同的单元会形成不同的单元矩阵，本文以一维和二维单元为例，从原理上求解出了系数型偏微分方程不同项的单元矩阵，应用求解出来的二维单元矩阵，计算了35kV绝缘子的电位和电场分布，得到了绝缘子表面的电场强度的最大值。
1 有限元法的基本原理
1.1 加权余量法
工程中的大部分问题都能够以数理函数的形式表示成某个未知函数在求解域满足偏微分方程组，并且该未知函数应满足一定的边界条件，常用的办法是对未知函数u进行假设并进行求解。常用的方法有配点法、子域法、最小二乘法、伽辽金法，本文基于伽辽金方法推导出不同维数下的各个单元的单元矩阵。
1.2 系数型偏微分方程
考虑到工程的复杂情况，其偏微分方程形式各不相同，综合不同形式的偏微分方程，通过修改各项系数，则可获得不同的偏微分方程以满足工程需要。
根据未知函数阶数的不同，可以将系数型偏微分方程分为四种不同的形式，因此需要求出四种形式下的单元矩阵。
2 一维单元的单元矩阵求解
一维单元的基本形式为，单元节点处的值为，在节点处的值为，则有：，在一维单元下，采用伽辽金法分别求偏微分方程各项的单元矩阵。
3 二维单元的单元矩阵求解
二维情况下，未知函数u是的函数，因此、，不同的单元形状会有不同的单元矩阵。三角形单元，对于源项f有。四边形单元有、和
。
四边形单元单元矩阵的求法和三角形单元类似，本文限于篇幅，不再详细介绍。
4 工程应用
本文利用上述推导出的单元矩阵，计算了35kV绝缘子的电位和电场分布，计算中假设绝缘子表面干净、空气湿度较低，可以当做静电场进行求解。
35kV绝缘子是一个轴对称模型，为节约计算资源，可采用二维轴对称的方法进行建模，然后对模型划分网格，计算出来的绝缘子的电位和电场强度分布如图1所示，电场强度的最大值为957.85kV/m，小于空气的起晕场强3000kV/m，因此不需要在高压端加装均压环来改善绝缘子表面的电场强度。
5 结语
本文根据有限元方法的原理，推导出了常见单元下的单元矩阵，为后续工程计算提供了理论基础。根据求解的单元矩阵，计算了35kV绝缘子的电位和电场分布， 绝缘子表面的电场强度最大值为957.85kV/m，小于空气的起晕场强，因此不需要加装均压环，该结论符合我国电力系统中220kV及以上电压等级的绝缘子才需要加装均压环的事实。
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