摘 要： 函数极限的保号性质在结合导数和积分研究函数的其他性质方面有着广泛的应用，在应用中揭示了函数极限保号性的本质。
关键词： 保号性；极限；函数
中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：2095-8153（2015）02-0100-03
函数极限除唯一性、局部有界性、迫敛性和四则运算外，还有两个重要的性质，即局部保号性和保不等式性。两个性质均阐述了函数极限之间的大小和函数本身之间的大小间存在的因果关系，其中前者是由极限的大小推出函数的大小，即由极限的符号“保证”函数在局部的符号，故名局部保号性。后者则相反，结合极限的四则运算，可看成前者的推论。具体叙述如下：
定理（局部保号性）若[limx→af（x）=A>0]，则[∃δ>0]，当[x∈u0（a，δ）]时，有：
1. [f（x）>0]
2. [∀r∈（0，A），f（x）>r>0]。
推论1 若[limx→af（x）=A]，[limx→ag（x）=B]，且[A>B]，则[∃δ>0]，当[x∈u0（a，δ）]时，有：[f（x）>g（x）]。
推论2 若[limx→af（x）=A]，[limx→ag（x）=B]，且[∃δ>0]，当[x∈u0（a，δ）]时，[f（x）>g（x）]，则[A≥B][1]。
以上三条性质统称函数极限的局部保号性。它们在结合导数和积分研究函数的其他性质方面有着广泛的应用，下举例说明。
1 证明达布定理及其推论
例1 （达布定理）若函数[f]在[[a，b]]上可导，且[f′+（a）≠f′_（b）]，[k]为介于[f′+（a）与f′_（b）]之间的任一实数，则至少存在一点[ξ∈（a，b）]，使得[f′（ξ）=k][2]。
证明 作辅助函数[F（x）=f（x）-kx]，不妨设[f′+（a） 由[f′+（a） 由函数极限的局部保号性得： [∃δ1>0][，使得∀x∈（a，a+δ1），有F（x）-F（a）x-a<0] 即当[x∈（a，a+δ1）]时，有[F（x） 同理可知： [∃δ2>0，使得当x∈（b-δ2，b）时，有F（x） 另一方面，[F（x）]在[[a，b]]上可导，故在[[a，b]]上连续从而有最大值与最小值。而式（1）、式（2）说明[F（x）]的最小值一定不在两端点处取得，即在[（a，b）]内的一点[ξ]处[F（x）]取得最小值从而也是极小值。由费马定理知，[F′（ξ）=0]，即[f′（ξ）=k]。得证。 注1 极限值与零之间的大小比较是利用保号性质的先决条件。本题通过构造辅助函数，巧妙地把导数值和某常数之间的比较转化为导数值和零之间的比较，而函数在端点处的导数就是某极限表达式，很自然就想到利用保号性质将极限与零的大小转化为求极限的式子与零之间的大小，这正是“保号”的意义所在。 注2 达布定理的推论“若函数[f]在[[a，b]]上可导，[f′+（a）与f′_（b）异号]，则至少存在一点[ξ∈（a，b）]，使得[f′（ξ）=0]”可仿此证明，此处不再赘述。 2 在判定函数的极值方面 例2 设函数[f]有二阶连续导数，且[limx→0f（x）-21-cosx=0]，[limx→0f″（x）ln（1+x2）=1]，则： （A） [f（x）在x=0处取得极大值]； （B） [f（x）在x=0处取得极小值]； （C）[（0，f（0））是曲线y=fx的拐点]； （D）[f（0）]不是[f（x）]的极值，[0，f0]也不是曲线[y=f（x）的拐点][3]。 分析 此题条件已知两个极限值，可分别利用不定式极限的性质和连续函数极限的保号性得到关于[f]和[f]的一阶、二阶导数的相关信息。 解：由[limx→0f（x）-21-cosx=0]和函数及一阶导的连续性知：[f（0）=2]且[f′（0）=0] 由[limx→0f″（x）ln（1+x2）=1]及二阶导的连续性知：[f″（0）=0]。 这不足以说明[fx]在[x=0]点取得极值，也不能说明[0， f0]是[fx]的拐点。又由于极限值1>0，说明在[x=0]的某空心邻域内[f″（x）>0]，这说明[0，f0]不是[f（x）]的拐点。另一方面，由[f″（x）>0]知[f′（x）]单调递增，结合[f′（0）=0]，说明在[x=0]的两侧[f′（x）]的符号不一致，且是由负号变为正号，从而函数的单调性是由单调递减变为单调递增。由极值的第一充分条件可判断[f（x）]在[x=0]处取得极小值[4]。 故（B）是正确答案。 注 此题极易出错的地方有二，一是由[f″（0）=0]判断[x=0]是函数的拐点。在可导的前提下，二阶导为零只是拐点的必要条件。二是由极限值1>0判断[f″（0）>0]，根据极值的第二充分条件判断[f（0）]为极小值，这也是不对的。必须注意函数极限的局部保号性指的是在对应点的空心领域。 类似的问题还有： 例3 已知[limx→af（x）-f（a）（x-a）k=m]（[k∈z+，m≠0]）。试讨论[x=a]是不是函数的极值点，如果是，那么是极大值还是极小值点？ 分析 此题已知条件涉及两个变量，其中[m]可从正负方面讨论，[k]可从奇偶方面讨论，再结合极限的保号性质，就可知[f（x）]在[x=a]的左右领域与[f（a）]之间的大小关系，从而利用极值的第一充分条件即可判断。 3 在定积分方面的应用 例4 设函数[f]在[[a，b]]上非负连续，且[abf（x）dx=0]。证明：在[a，b]上[f（x）≡0] 分析 要证在[a，b]上[f（x）≡0]，根据函数非负连续的性质，只须说明不存在函数值为正的点即可。易想到用反证法，假设[∃x0∈a，b]，有[f（x0）>0]。根据函数值在[x0]点为正就可推得函数在[x=x0]的某领域也非负，这正是连续函数的局部保号性质的意义所在。然后再根据积分区间的可加性及定积分的不等式性即可推出矛盾。证明如下。 证 假设[∃x0∈a，b]，有[f（x0）>0]。则根据连续函数的局部保号性可知：[∃δ>0，]当[x∈u（x0，δ）]时，[f（x）>f（x0）2]。 从而 [abf（x）dx]=[ax0-δf（x）dx+x0-δx0+δf（x）dx+x0+δbf（x）dx] [≥0+f（x0）2∙2δ+0][≥f（x0）>0]这与已知[abf（x）dx][=0]不符 特别地，当[x0=a]或[x0=b]时，则在[x0=a]的某左邻域或[x0=b]的某右邻域函数值为正，同上也可推出矛盾。即假设不真，原命题成立。得证。 类似问题还有： 例5 设函数[f]在闭区间[a，b]上连续，且[f（x）]不恒等于零。证明：[ab（f（x））2dx>o] 注 解决这类问题的关键是由函数在某点的非负（正）性，得到其在某区间的非负（正）性，这就是连续函数局部保号性的应用。然后利用积分区间的可加性将积分分为若干个积分加以讨论即可。 4 在证明不等式方面的应用 朱银坪和叶泽祥在《利用一次函数的保号性证明一类不等式》中举例说明了对于一次函数[y=kx+b]，若[f（m）>0，f（n）>0]，则[∀x∈（m，n）]，有[f（x）>0][5]。从其意义上说，一次函数在区间两端点函数值的同号性保证了其区间内部函数值的符号，故称其为一次函数的保号性也很形象。 例6 已知[x，y，z∈R+]，且满足[x+y+z=1]。求证：[xyz（1-x）（1-y）（1-z）≤18] 证明 在已知条件下，所证式子可化简为[xz+xy+yz≥9xyz]。 由于[x，y，z]的轮换对称性，不妨设[x=minx，y，z]，从而[0≤x≤13] 设函数[f（x）=x（y+z-9yz）+yz]，问题即证[f（x）≥0] 首先[f（0）=yz>0] 其次[f（13）=13（y+z-9yz）+yz]=[13（23-9yz）+yz]=[29-2yz][≥29-2∙（y+z2）2][=0] 根据一次函数保号性的性质可知[f（x）≥0]成立。得证。 注1 正是利用了“保号”这一性质，使得此证法比文献[5]中给出的解答要略显简单。 注2 结合连续函数的介值性，可将此一次函数的保号性质推广至闭区间上任意连续函数的性质，叙述如下： 定理 设函数[f]在闭区间[a，b]上连续，若[f（a）>0，f（b）>0]，则至少存在一点[x0∈a，b]，满足[f（x0）>0]。 如将结论中的“至少[∃x0]”，改为“[∀x∈（a，b）]”，则需要附加条件约束[f（x）]的单调性，如[f′（x）≥0]等，这类问题在教材中比较常见，此处不再赘述。 5 小结 利用函数极限的局部保号性可以解决诸如上述问题或一些复杂问题中的某个环节，但在使用时要注意两点，一是“局部”二字不可忽视，其约束了自变量的取值范围，反例可参见薛洪的文章《极限的保序性及其应用》[4]。二是题目条件已知极限的大小，结论需推得相关函数与零的大小，反之亦然。对于连续函数而言，即由函数在某点的函数值即可推断其在该点附近函数值的大小，这正是“保号”的本质所在。 [参考文献] [1] 华中师范大学数学系.数学分析：下册[M].北京：高等教育出版社，2010：50-53. [2] 邓乐斌.数学分析的理论、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2007：105-154。 [3] 黑博士考研信息工作室.考研数学历年真题[M].北京：人民日报出版社，2006：85. [4] 薛 洪.极限的保序性及其应用[J].高等函授学报（自然科学版），2008（05）：33-34. [5] 朱银坪，叶泽祥.利用一次函数的保号性证明一类不等式[J].中学数学（湖北），1995.5。 Nature and Application of Sign-preserving Theorem of Function Limit YU Xiao-juan， DENG Le-bin （Department of Math and Finance，Yunyang Teachers’college，Shiyan 442000，China） Abstract： Sign-preserving theorem of function limit which combines function differential with integral has extensive application in researching other function natures. The nature of sign-preserving theorem of function limit is revealed in its application. Keywords： sign-preserving； limit； function