摘 要 函数极限是指函数的自变量在其定义域内以某种形势无限变化时，函数无限趋近于某个常数的结果，它是一类非常重要的变化过程，本文主要介绍以函数极限的几个性质作为前提延伸出的函数的几个结论，并加以适当的证明。
关键词 函数极限 邻域 点x0处的极限 无穷远处的极限 单侧极限
中图分类号：O171 文献标识码：A
1函数的极限
1.1函数在x0点的极限的定义
若f（x）在x0点某邻域有定义（但可能不包含x0本身），A是一个常数， >0， >0，s.t0<|x x0|< 时，有|f（x） A|< 成立，就称A是f（x）在x0处的极限，记作：f（x）=A。
1.2函数在x0点的极限的性质
定理1：设f（x）=A，g（x）=B，且A>B，则存在 >0，当0<|x x0|< 时，有f（x）>g（x）。
证明：由f（x）=A，则 =， 1>0，使0<|x x0|< 1时，有|f（x） A|<，即： 同理：g（x）=B，则 =， 2>0，使0<|x x0|< 2时，有|g（x） B|<，即： 取 =min{ 1， 2}>0，则有：g（x）< 定理2：设f（x）=A，则存在 >0，当0<|x x0|< 时，f（x）有界。 证明：由f（x）=A， =1， >0，当0<|x x0|< 时，有|f（x） A|<1，即：A 1 定理3：若f（x）=A的充要条件是对任何以x0为极限的数列xn，xn≠x0，有f（xn）=A。 证明：必要性：由f（x）=A，则 >0， >0，当0<|x x0|< 时，有|f（x） A|< 。又由f（xn）=x0，则 >0， N∈N*，当n>N时，有0<|xn x0|< ，从而有|f（xn） A|< 成立。 充分性：用反证法，假设f（x）≠A，则 >0， >0， x，当0<|x x0|< 时，有|f（x） A|≥ ，分别取 为1，，，…，，…时，得到x1，x2，…，xn，…满足下式： 0<|x x0|<1时，|f（x1） A|≥ 0<|x2 x0|<时，|f（x2） A|≥ …………………………… 0<|xn x0|<时，|f（xn） A|≥ …………………………… 由此，当n→∞ 时，xn=x0且xn≠x0，而f（x）≠A与已知矛盾，从而充分性成立。 定理4：若f（x）=A，g（x）=B，则f（x）·g（x）=A·B。 证明：由f（x）=A，则 >0， 1>0，当0<|x x0|< 1时，|f（x） A|< ，且 2>0，当0<|x x0|< 2， M>0有|f（x）≤M|。同理，由g（x）=B，则 >0， 3>0，有0<|x x0|< 3时，有|g（x） B|< 成立。取 =min{ 1， 2， 3}，有：0<|x x0|< 时，|f（x）·g（x） AB|=|f（x）·g（x） f（x）·B+f（x）·B AB|≤|f（x）|·|g（x） B|+|B|·|f（x） A|<（M+|B|）· 成立。 1.3函数在正无限远处极限的定义 设 >0， X>0，当 x>X时，有|f（x） A|< 成立，记作f（x）=A。 2几个简单的函数极限的结论 2.1结论及其简单的证明 结论1：若f（x）=A，g（x）=B，并且存在 >0，当0<|x x0|< 时，有f（x）≥g（x），证明：A≥B。