科学工程中的许多问题是通过非线性偏微分方程来描述的，然而这些微分方程是很难求解的，利用拓扑和变分思想形成的非线性分析方法却能够解决这些问题。本书就是由拓扑方法和变分方法组成的求解半线性椭圆型问题的非线性分析方法。书中论述了分岔理论、界点理论和椭圆型偏微分方程等基本问题，给出了偏微分方程研究领域的最新研究成果。
全书由五大部分组成。第一部分预备知识，主要有微分学、函数空间、Nemitski算子和椭圆型方程；第二部分拓扑方法，主要内容有分岔理论、分岔的定义和必要条件、Lyapunov-Schmidt约化、单特征值的分岔、Brouwer拓扑度及其属性、Brouwer不动点定理、Leray-Schauder拓扑度及其在椭圆型方程中的应用、Leray-Schauder不动点定理、Krasnoselski分岔定理、拓扑度的全局性质、同伦不变性的改进及其在具有下解和上解的边值问题中的应用、Rabinowitz全局分岔定理、渐近线性椭圆型问题的正解和分岔；第三部分变分方法之一，主要叙述了Hilbert空间和Banach空间上的泛函极值点的存在性、梯度、线性特征值、约束临界点、微分流形、余维数为1的流形、自然约束、次水平集变形、最速下降流、变形与紧性、Palais-Smale条件、约束极小值的存在性及其在超线性Dirichlet问题中的应用、鞍点和极小一极大方法、山路定理及其应用、环绕定理、Pohozaev恒等式；第四部分变分方法之二，包含的内容有Lusternik-Schnirelman类、Lustemik-Schnirelman定理、对称流形偶泛函的临界点、Krasnoselski亏格、临界点的存在性、偶无界泛函的多重临界点及其在Dirichlet边值问题中的应用、上的半线性椭圆型方程的径向解、具有临界指数的边值问题、具有凹凸非线性项的椭圆型问题、Morse理论、代数拓扑的基本内容、Morse不等式、变分算子的分岔和山路界点的Morse指数；第五部分是五个附录，第一个附录给出了椭圆型问题解的对称结果、分类和先验性估计；第二个附录是集中紧支性原理，给出了P.L.Lions在无紧支性的情况下所得到的结果及其在半线性椭圆型问题的应用；第三个附录是R上的分岔问题，叙述了R上在特征值存在的条件下的分岔问题、本质谱产生的分岔；第四个附录是理想流体中涡流环，给出了问题的描述和全局存在性结果；第五个附录是扰动方法，介绍了扰动法在椭圆型问题中的应用、非线性SchrtMinger方程的半典型状态、奇异扰动Neumann问题和偶泛函的扰动。第六个附录是微分几何中的一些问题，介绍了Yamable问题和数量曲率问题。
该书论述严谨，层次清晰，内容丰富，对从事非线性椭圆型偏微分方程、分岔理论、变分学等方向的科研人员和研究生具有重要的参考价值。
朱永贵，博士
(中国传媒大学理学院)