A New Convergence Criterion of Positive Term Series
Qian Longjiang
（Shangluo Vocational & Technical College，Shangluo 726000，China）
摘要： 用初等方法深入研究了正向级数判别法，基于比值判别法和根值判别法判别法思想，研究了更高精度判别法，给出不断提高精度的判别法的构造思想以及一般性定理。
Abstract: Using elementary methods，the positive series judge method In-depth is studied ，Based on the idea of Ratio test and the root value based identification method, this paper gives a new and more exact criterion. Furthermore, it proposes a general idea to construct a series of criterions with increasing precision. By the way, it proves that there is no "best criterion" that can judge every series by comparing the quotient of adjacent terms, or there is no positive term series that have the lowest "speed" of convergence.
关键词： 正项级数 判别法 收敛速度
Key words: positive term series；judge method；speed of convergence
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）26-0152-02
0引言
正项级数的收敛性是高等致学中的—个重要内容。本文对正顼级致的判别法作一个较全面的讨论。通常的高等数学教材中介绍了比较判别法。比值判别法、根值判别法和积分判别法。比值判别法和根值判别法的实质是将级数和等比级数加以比较，而且下面的定理说明根值判别法较比值判别法应用更为广泛。构造高精度正项级数判别法，实质便是找到一个收敛速度足够慢的正项级数，这个正项级数我们称为基级数。通过基数列的前后两项间的比值与待判定的正项级数的前后两项间比值比较来判定其是否收敛。选定作为参考的正项级数可以判定出比它收敛速度快的正项级数的收敛性。也就是说，作为基数列正项级数收敛速度越慢，由此建立的正项级数判别法判别范围就越广，我们称之为精度越高。本文就这一问题进行了深入研究，提出了不断提高精度的判别法的构造思想以及一般性定理，本文的研究丰富了正项级数收敛的判别方法。
1正向级数判别法的进一步研究-对数判别法引理1设正数列u■和v■，如果当n＞n0时有不等式■＜■，那么当■u■收敛时，则■u■也收敛。由比较判别法，从■v■收敛即得■u■收敛，为了以后叙述的方便，我们称■v■为基数列。我们知道用比较判别法来判别正向级数的敛散性是很方便的，若取p一级数（当P>1时收敛，当p＜1时发散，而且p一级数的收敛速度较等）和等比级数加以比较，我们可以得到下面的对数判别法
定理1
设α>0，n?叟n0，■u■为正项级数，若
①■?叟1+α，u■＞0，■u■收敛
②■?燮1+α，u■＞0，■u■发散
证明：设■■=l，假定1＜l＜+∞可以取足够小的ε＞0，使得l-ε＞1，这样当n足够大时有ln■＞l-εlnn，于是u■＜■。因此级数收敛。对于l＜1情况，可以类似证明。对于l=1，可以举例说明判别法失效。
定理2设正项级数■u■
设α＞0，n?叟n0，■u■为正项级数，若■nln■=l
那么l＞1时，级数■u■收敛，l＜1时，级数■u■发散。
证明：有不等式1+■■＜e＜1+■■若l＞1，且足够小的ε＞0，使得l-ε＞1，则存在n0，当n＞n0时有nln■＞l-ε，我们立即有nln■＞l-ε＞nln1+■从而■＞■，既■＜■■=■
由于l-ε＞1，级数■■收敛，因而级数■u■也收敛。
类似，可以证明当l＜1时，级数■u■发散，而且从证明过程中可以看到，l=+∞时，定理也戍立。
当l=1时，此判别法失效。例如取un=■，则l=1，级数■■发散。
例1判别级数■■敛散性，由于u■=■，ln■=ln1+■■+3n■
而■2n■=0
因而l=1，但■■收敛
根据此判别法可以判别级数■■收敛，级数■■发散，■■收敛。
根据积分判别法知道，级数■■在δ＞1时收敛，在δ?燮1时发散，而且项■趋于零的速度比级数■■慢，因此，若我们将级数■■和级数■■比较，用类似定理的推理方法，可以得到下面的判别法。
推论1（定理1的推广）
设α＞0，n?叟n0，■u■为正项级数，若■■=l
那么l＞1时，级数■u■收敛，l＜1时，级数■u■发散。
推论2（定理2的推广）
设α＞0，n?叟n0，■u■为正项级数，若■■=l
那么l＞1时，级数■u■收敛，l＜1时，级数■u■发散。
2对数判别法在无无穷积分敛散性判别中的应用
由于级数与积分在本质上是相同的，都是“求和”运算，只不过是对两种不同的变量求和，级数与无穷积分的关系：■f（x）dx=■■f=■u■，其中u■=■f无穷积分可化为级数；对每个级数，定义函数f（x）=un，n?燮x＜n+1，n=1，2，…，易见有■u■=■f（x）dx，即级数可化为无穷积分。
因此，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果。可以用其中的一个研究另一个。
因此可以将级数的对数判别法推广到无穷积分中去，用下面的例子说明：例如：考察积分I=■■，（-∞＜p，q＜+∞）的敛散性。
取u（x）=■，则u（x）∈R（[2，+∞）），■■=■■=■■=p
因此当p＞1时，级数I收敛，当P＜1时I发散。
当P=1时，令1nx=t，得I=■■=■■易知，有结论q＞1时，I收敛，当q?燮1时I发散。我们不难发现：当正项级数的通项与无穷积分的被积函数是幂指函数时，我们的可采用对数判别法。这样的推广可以无限地进行下去，计算复杂度随之增大，而得到正项级数判别法的精度被不断提高，当然判别条件也越来越复杂。
3结论
本文研究了相对比值判别法和根值判别法而言的更高精度判别法，并且由此推广给出任意有限高精度的判别法的构造思想以及一般表达式，同时证明不存在一个精度最高的正项级数判别法，即证明出没有收敛最慢的级数。
参考文献：
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