摘 要：高等数学中的一些知识在中学解题中的应用越来越多，本文以拉格朗日中值定理为例，讨论此定理在中学不等式、证明根的存在性和函数中求最值等方面的应用。以期帮助高中学生提升对这类知识的理解能力，也为解决一些数学问题提供更多的方法和思路。
关键词：拉格朗日中值定理；中学解题；应用
中图分类号：G633.66文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）06-0131-02
一、引语
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，是连接函数及其导数之间关系的桥梁，它反映了可导的函数在某一闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是在罗尔中值定理的基础上进行推广而得到的，也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式，其重要性很显然，有着广泛的应用。如：石业娇、王康将拉格朗日中值定理应用在解决不等式、极限问题和级数的收敛性问题中，起到了良好的效果[1，2]；宋益荣，刘静将拉格朗日中值定理应用在证明恒等式和证明方程根的存在性问题中，很好地解决了相应的问题[3]；赵畅利用拉格朗日中值定理解决函数的一直连续性问题[4]；还要一些关于拉格朗日中值定理的证明方法的研究[5-9]。但是关于拉格朗日中值定理在中学方面应用的研究较少，本文首先探讨拉格朗日中值定理，接着研究拉格朗日中值定理在中学方面的应用进行讨论，并给出一些具体的实例，以期能够为中学教师数学教学提供一定的理论参考。
二、拉格朗日中值定理概述
拉格朗日中值定理的具体表述如下，若函数f（x）满足如下条件：
（1）在闭区间a，b上连续；
（2）在开区间a，b内可导；
则在a，b内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，其中b>a。
其几何意义是，函数y=f（x）在区间a，b上的图形是连续光滑曲线弧上至少有一点c，曲线在c点的切线平行于选AB。
推论1.若在a，b内，f（x）≡0，则在a，b内f（x）为一常数。
推论2.若在a，b内，f′（x）=g′（x），则在a，b内f（x）=g（x）+c（c为常数）。
三、实例分析
（一）拉格朗日中值定理在解决不等式中的应用
不等式证明是高中数学中一个很常见的题型，一般来说，具体解题思路是通过构造函数来判断此函数的单调性，然后利用特殊函数的单调性得出结论。这种思维方式不仅比较传统，而且对于较复杂的复合函数运用起来相对比较复杂。下边介绍拉格朗日中值定理在解决此类问题中的应用。
例1.已知函数模型f（x）=lnx+3，gx=x22-bx+7（b>1为常数），对于区间1，2内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求b的取值范围。
此题在中学解法中运用构造法的解题思路，通过构造可以建立各个数学知识点之间的联系和相互转化。
证法1：笔者在此先按照以往思路考虑去掉绝对值符号。按照上面的假设方法，也即假设两实数x1，x2，且满足 1 f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x1）>0成立，又由于在以上区间上，f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）恒成立，即g（x1）-g（x2） f（x1）-f（x2） f（x）-g（x）′=lnx+3-x22+bx-7′=1x-x+b≥0f（x）+g（x）′=lnx+3+x22-bx+7′=1x+x-b≥0 又因为x∈1，2； 所以32 证法2：针对此题，对于区间1，2内的任意两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）恒成立。从拉格朗日中值定理的概念角度分析来说，在此，可以假设两实数x1，x2，且满足1 解：根据拉格朗日中值定理，题意满足f′（x）>g′（x），x∈1，2，且满足b>1成立； 求导，即为1x>x-b； 又因为 x>0； 所以-1x 也即x-1x 又因为x∈1，2； 所以32 由此可以发现，二者虽然解题思路不同，但是同样可以得出相同的结果。对于第1种解题思路所考虑的技巧性比较强，特别是针对不等式右边绝对值不容易去掉的情况。这也对学生的解题思路提出了很高要求，使得有限的时间更加珍贵，这对于学生来说是一个挑战。若运用拉格朗日中值定理就可以较快接近证明的结果，不需要太多的解题技巧和突兀的思路，经过适当的步骤，只要满足相关条件就可以轻松得到结论，将会对解决这类题目起到事半功倍的效果。 下列两类应用只讲解拉格朗日中值定理解题的过程，不再重复高中的解决方法。 （二）拉格朗日中值定理在证明根的存在性中的应用 例2.f（x）在0，1上是可导的，且0 证：首先利用构造法证明根的存在性，再利用拉格朗日中值定理证明根的唯一性。 （1）根的存在性 設gx=f（x）+x-1，g0=f（0）-1，g1=f（1） 又因为0 有g0=f（0）-1<0，g1=f（1）>0 所以g0·g1<0，根据根的存在性定理知，函数gx在0，1内一定存在实根。 （2）根的唯一性 想要证明f（x）+x-1=0在0，1内有唯一的实根，基本做法是先假设f（x）+x-1=0在0，1内存在两个实根，然后推出与已知矛盾的结论，从而证明根的唯一性，下面讲解利用拉格朗日中值定理证明根的唯一性的过程。 假设α，β是f（x）+x-1=0在0，1内的两个实根，又假设α<β，从而有f（α）=1-α，f（β）=1-β，对函数f（x）在α，β上应用拉格朗日中值定理有f（α）-f（β）=f′（ω）α-β，推出f（α）-f（β）α-β=f′（ω），即： 1-α-1-βα-β=-1，这和已知条件f′（ω）≠-1矛盾。 从而证明了方程f（x）+x-1=0在0，1内有唯一的实根。 （三）拉格朗日中值定理在函数最值中的应用 拉格朗日中值定理在解决函数最值得问题的时候，必须满足相应的形式，如：可化成t≥f（x1）-f（x2）x1-x2或是t≤f（x1）-f（x2）x1-x2的形式，即可运用拉格朗日中值定理进行解决。 例3.若函数fx对于实数k和其定义域内的任意两点x1，x2满足fx1-fx2≤kx1-x2，则称函数fxx∈D满足利普希茨条件，若函数fx=xx≥1满足利普希茨条件，求k的最小值。 解：根据已知条件，k≥f（x1）-f（x2）x1-x2，又根据拉格朗日中值定理：f′ω≥f（x1）-f（x2）x1-x2 从而k≥f′ω，即求得f′ω的最大值。 因为fx=xx≥1，得到f′x=12x≤12，所以f′x的最大值为12，从而k的最小值为12。 四、总结 通过拉格朗日中值定理在解决不等式、根的存在性以及函数中最值的例子，能够看出此定理解题过程中思路较为简捷。在熟知定理的情况下，学生做题效率显然提升，而学习此定理有助于更加透彻地加深对现代数学知识的理解，更好的把握中学数学教学的本质，将一些相关思维融入到日常的数学中去，为学生学好数学打下良好的基础。 （作者单位：六盘水师范学院） 参考文献： [1]石业娇.谈拉格朗日中值定理在高等数学课程教学中的应用[J].常州信息职业技术学院学报，2014，05：26-28. [2]王康.拉格朗日中值定理的应用[J].安顺学院学报，2012，02：126-127. [3]宋益荣，刘静.拉格朗日中值定理的应用[J].襄阳职业技术学院学报，2013，05：21-23. [4]张喆，张建林，姜永艳.拉格朗日中值定理的证明方法[J].高等数学研究，2011，05：57-60. [5]刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明[J].天津商学院学报，2002，03：35-36. [6]潘伟，张宏伟，达铭.拉格朗日中值定理证明方法的研究与探索[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版），2014，03：10-11. [7]张娅莉，汪斌.拉格朗日中值定理的证明和应用[J].信阳农业高等专科学校学报，2005，04：91-93. [8]赵畅.拉格朗日中值定理的应用[J].通化师范学院学报，2015，06：28-30. [9]郁美玲.拉格朗日中值定理证明的辅助函数[J].上海电机技术高等专科学校学报，2004，01：30-32. [10]贾俊芳.拉格朗日中值定理的应用[J]雁北师范学院学报.2004.（5）：25-28. [11]周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J]高等数学研究.1999.2（3）：30-32. [12]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局，2003，61-83. [13]华东师范大学数学系.数学分析（第三版 下册）[M].北京：高等教育出版社，2001：126-128. [14]余庆红.中值定理的应用探讨[D].陕西：西安航空技术高等专科学校学报，2007（25）：34-36. [15]朱智和.微分中值定理在解题中的若干应用[J].绍兴文理学院学报，2009，8（6）：53-55. [16]李艳敏，叶伯英.关于微分中值定理的两点思考，高等数学研究[M].北京：高等教育出版社，2001：63-68. [17]韩应华，姚贵平等.微分中值定理的应用及推广[J].内蒙古农业大学学报，2009，9（18）：23-24.