摘 要： 作者通过实例分析了数列收敛和发散时通项的一些特点，并讨论数列不满足单调有界定理、迫敛定理、柯西收敛准则和两个重要极限的条件时的收敛性问题.
关键词： 数列极限 单调有界定理 迫敛定理 柯西收敛准则 两个重要极限
数列收敛性问题在高等数学教学中既是难点又是重点，数列收敛问题的判别方法通常有以下几种：单调有界定理、迫敛定理、柯西收敛准则和两个重要极限等.解决问题的关键是如何正确理解并选择合适的方法.本文通过一些典型例题来讨论数列的收敛性问题.
例1.若x=A，其中A是有限数、+∞或-∞，则有=A.
证明：当A是有限数时，由x=A，?坌ε＞0，?埚N，当n＞N时，有|x-A|＜.
因此
-A≤
≤+
＜+·＜+，
其中K=|x-A|+…+|x-A|.
又存在N，当n＞N时，＜.
因此当n＞max{N，N}时，
-A＜+=ε.
当A=+∞时，由x=+∞，?坌M＞0，?埚N，当时n＞N，因此x＞3M.
因此
=+
＞+·3M，
其中K=x+x+…+x.由于→0，→1（n→∞），
从而存在N，当n＞N时，＜，＞.故
＞·3M-M=M.
类似可证A=-∞情形.
例2.若x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），则=A.
证明：由x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），得A≥0.
当A＞0时，lnx=lnA，由例1，
（lnx+lnx+…+lnx）=lnA.
从而=e=e=A.
当A=0时，x=-∞，故
（lnx+lnx+…+lnx）=-∞，
于是=e=0.
注1：例1和例2的逆命题不成立.
例如数列{x}，其中x=（-1）（n=1，2，3…）.易知=0，但是极限x不存在.对于数列{y}，其中y=n（n=1，2，3…）.容易看出=1，但是极限y不存在.
定理1：设x＞0（n=1，2，3…），满足=A（A是有限或无穷），则有=A.
证明：不妨设
y=x，y=，…，y=，….
由例2得：
=y，
所以
==y===A.
例3.证明：=e
证明：设x=，则
=·=（1+）=e.
由定理1得
==e
例4.求极限
解：令x=，则
=·=（1+）=.
由定理1得
==.
定理2：若x=A，y=B，则=AB.
证明：设y-B=σ，则由y=B知，σ=0.从而
=
=b+
由例1知b=AB，下证=0，
已知x=A，故数列{x}有界，即?埚M＞0，?坌n∈N，有|x|≤M.
又σ=0.即?坌ε＞0，?埚m∈N，?坌n＞m，|σ|＜ε.
取定自然数m，易知有|xσ+xσ+…+xσ|上界，设它的上界是K.
已知=0，故对上述的ε＞0，?埚k∈N（k＞m），?坌n＞k，有＜ε，从而有：
-0≤+
≤+
＜+ε≤Kε+ε=（K+1）ε，
即=0，
因此=AB.
例5.求极限
解：令x=1，y=则x=1，y=1.
于是
==1·1=1.
本文通过典型例题考查了数列极限的一些特点，并讨论数列不满足单调有界定理、迫敛定理、柯西收敛准则和两个重要极限等条件时的极限问题.虽然数列收敛性问题比较复杂，但只要通过适当典型题目的学习，仔细体会，认真总结，就可以达到深刻理解和灵活应用各种方法的目的.
参考文献：
［1］［美］Walter Rudin.数学分析原理.机械工业出版社，2009.
［2］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.
［3］龚冬保等.高等数学典型题.西安交通大学大学出版社，1996.
［4］华东师范大学数学系编.数学分析.高等教育出版社，1991.