介绍简化的再生核方法。令
fi（x）=LxiR（x，xi），i=1，2，…，n，
g1（x）=R（x，a），g1（x）=R（x，b）
由再生核性质知：f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）线性无关。
令Sn=span{f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）}，Pn：W32[a，b]→Sn为正交投影算子，则f1（x），f2（x）…fn（x），g1（x），g2（x）为Sn的一组基。
由泛函的相关定理，假设ui（x）是（7）的解，则Pnui是（7）的逼近解。由uin■Pnui∈Sn，故Vn可设为
uin=ai1f1+ai2f2+…+ainfn+bi1g1+bi2g2 （8）
定理2.1：设ui是（7）的解，则Pnui满足：
〈uin，fj〉=h（xj），j=1，2，…，n〈uin，g1〉=■〈uin，g2〉=■ （9）
证明：定理2.2在[a，b]上，uin一致收敛于ui。
接下来确定未知系数ai1，ai2，…ain，bi1，bi2。将式（8）代入式（9），得到线性方程组：
■aij〈fj，fi〉+bij〈fj，g1〉+bi2〈fj，g2〉=h（xi），i=1，2，…，n■aij〈fj，g1〉+bi1〈g1，g1〉+bi2〈g1，g2〉=■■aij〈fj，g1〉+bi1〈g2，g1〉+bi2〈g2，g2〉=■
可得
（ai1，ai2，…，ain，bi1，bi2）r=M-1bi，i=0，1，2，…，m。
进而得到ui近似解。故而，我们得到式（1）的近似解.
Um，n=■uin
三、结论
通过之前的理论分析可知，同伦渐进和简化的再生核方法成功地解决了非线性方程的问题。
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