摘 要：首先给出了一个反正切相减公式，然后研究了一类通项用反正切表示的数项级数，应用反正切相减公式，给出了求这类级数和的一般方法。
关键词：反正切相减公式 通项 级数的和
中图分类号：O174.66 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（c）-0209-01
在中学和大学教科书[1-3]中，有如下几道习题：
题1.若，求
题2.求级数的和.
题3.求级数的和.
这几题均是利用“拆项相消”的方法进行求解的.对题1，注意到
（1）
联想一下两角差的正切公式，易知应作“拆项”
（2）
在教学过程中，学生反映这种技巧他们也能够想到，但对文献[2]给出的关于题2的“拆项”提示：
（3）
学生普遍反映不易想到.观察题1-题3，可见它们的通项均为其中是二次三项式.一个自然的问题是：对数项级数
（4）
能否用“拆项相消”的方法求和？如果能，又该怎样“拆项”？本文将对此问题进行探讨.
首先，我们给出一个反正切相减公式，即
定理1 如果是定义在I上的非负函数，则
（5）
证明： 因为故
（6）
从而
（7）
注意到
故有
下面，我们讨论级数（4）能够“拆项相消”的条件.因为
如果级数（4）能用“拆项相消”的方法求和，则存在正整数m，使得
（9）
根据公式（5），令
（10）
解方程组（10）得
（11）
且
（12）
将代入（12），并令的系数为零，得
（13）
从而得到
定理2 如果方程
（14）
有整数解，则级数（4）可用拆项相消的方法求和.且“拆项”方法为
（15）
其中
（16）
利用定理2，我们很容易求解题2～题3.
题2 将.代入（14）式，得
（17）
易知（17）有整数解.再由（16）式得由
知级数的和为
题3 将代入（14），得
（18）
易知（18）有整数解.由（16）式得注意到（8）式，可知
故级数的和为
参考文献
[1]周敏泽.中国华罗庚学校数学课本（高一年级）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.
[2] 孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法（下册）[M].武汉：华中科技大学出版社，2009-10.
[3] 郝彦.数学分析习题课指导书[M].浙江：浙江大学出版社，2009：127.