摘要：延时现象的存在使得分析和解决非线性连续系统的控制问题非常的困难。随着计算机控制系统的不断发展，设计出一种准确的非线性延时系统的离散方法是很必要的。本文提出了一种适用于大采样周期下的非线性输出延时系统的离散方法。该方法基于泰勒级数、一阶保持假设和scaling and squaring（SST）技术。利用该方法可以在大采样周期的情况下，在不过大增加计算负担的基础上得到准确的非线性输出延时系统的离散模型。基于所得到的离散模型，可以进行相应的非线性控制器的设计。最后针对一个典型的非线性连续系统的离散仿真来验证该方法的有效性。
关键词：非线性系统 输出延时 离散 泰勒级数 scaling and squaring（SST）技术
中图分类号：TP27文献标识码：A文章编号：1007-9416（2011）06-0023-02
1、前言
网络技术的发展导致了人们对非线性延时系统控制问题的关注。控制系统中的通信和计算以及系统的复杂性是导致延时的两个主要原因。有延时的控制系统表现出了复杂的特性，从而使得分析和控制器的设计都非常的困难。在实际中延时现象的存在可以导致控制系统的控制精度下降，使控制系统产生振荡甚至不稳定。工业控制系统中，大部分的控制系统都表现出非线性的特性。因此，解决非线性延时系统的控制问题是非常有必要的。
对于延时系统的控制问题，很多的工作已经被提出[1,2,3]。近些年来，计算机控制技术得到飞速的发展。现代非线性控制算法通常是在数字计算机上来实现的。因此，控制算法必须以离散的形式工作。对于这样的控制系统，以下两种离散过程经常被采用[4，5]。（1）首先基于连续系统设计出连续的控制算法，然后将控制算法离散，从而在计算机上执行。（2）先离散连续被控系统，然后根据系统的离散模型设计出离散的控制算法。不论怎样，这两种方法都要涉及到离散的问题。在控制系统离散领域中，对于无时间延时的连续系统，传统的Euler法和Runge-Kutta方法可以被用于得到控制系统的离散模型[6]。但是应用这些方法进行连续系统离散时，为了得到满意的离散结果而要求很小的采样周期。因此，为了得到理想的离散模型，这些方法不能够应用到大的采样周期的情况。然而，由于物理上和技术上的限制，有些情况下大的采样周期是不可避免的。本文提出了一种非线性输出延时连续系统离散方法。该方法基于泰勒级数、一阶保持假设和SST技术。利用该方法可以在大采样周期的情况下获得准确的非线性输出延时连续系统的离散模型。基于此模型可以进行非线性控制器的设计。
2、非线性输出延时连续系统的离散
非线性输出延时连续系统可以由如下状态方程表示。
（1）
其中是非线性系统的输出延时时间，是系统的状态参数向量，是系统的输入信号，，和是关于的函数。系统的输出是状态参数在时刻的函数。
在时间轴上连续取相同的时间间隔。其中称为采样间隔，是采样周期。在这篇文章中假设一阶保持，也就是说由方程（1）表达的系统是由在每个采样间隔内成线性分布的输入信号所驱动的。
基于一阶保持假设，当时，在时间间隔中：
当，也就是存在输出延时时，令：
其中，。也就是说，系统的延时时间可以被表示成整数倍个采样周期加上一个采样周期的一部分。这样基于一阶保持假设，在时间间隔中有：
基于泰勒级数和一阶保持假设，公式（1）表示的非线性输出延时连续系统可以用公式（5）进行离散：
也可以通过截取一定的泰勒级数的阶数来获得有限维数的、近似的离散模型，见下式：
其中，是状态参数在时刻的值，可以用下式来进行递归计算：
3、SST技术
当采样周期增大时，要想得到满意的离散结果必须增大泰勒级数的阶数。这将大大的增加计算的负担。而且当采样周期很大时，的值因为有限精度算法的原因在其由于收敛而在高阶变小之前将变得非常大。这将导致数字的溢出。
SST技术可以被用于去解决大采样周期的问题。通常该技术被用于在大的采样周期的情况下计算指数矩阵的值。通过应用SST技术，我们可以将采样间隔分解为两个或更多个等长的子间隔。SST参数，是一个正整数，可以被选取去使得足够小。在这种情况下，采样周期被分解为个长为的等间隔，然后可以以这个短的时间间隔去计算该指数矩阵的值。最终指数矩阵的值可以通过求取的次平方来获得：
SST技术可以通过应用泰勒级数方法来扩展到非线性的系统中。类似于线性系统的情况，非线性的算子和算子的乘方可以代替矩阵和矩阵的乘方。在非线性系统的情况下，当采样周期很大时，可以将时间间隔分解成个相等的间隔，然后用小的泰勒级数的阶数去计算个时间间隔为的值。
假设是对应于大的采样周期的阶数为的泰勒展开算子。当它作用到时，输出是：
利用该算子，得到的离散后的系统可以写成：
上面得到的结果可以看成是泰勒级数方法和SST技术的相结合的结果。SST技术能够被应用到有输出延时的非线性连续系统的离散中。在这种情况下考虑的不是一个整的采样间隔，而是分为两个时间段和来考虑。则对应于时间段的SST参数为，对应于时间段的SST参数为。
4、仿真
文中提出的离散方法通过将它应用到一个典型的非线性连续系统进行验证。在仿真中所需的参考结果由Matlab ODE解算程序来提供。离散算法用Maple软件进行实现。本文使用的仿真系统如下所示。
仿真中所选择的参数分别为：，，；和，，。控制信号为。在这两种情况下采样周期比较大，因此SST技术必须被应用去获得满意的离散结果。在仿真中泰勒级数阶数，SST参数可以提供满意的离散结果。这两种情况下的Matlab ODE的解算结果和提出的离散化方法的离散结果分别显示在表1和2中。图1和2分别显示了状态参数和系统输出在这两种情况下的离散结果的误差。从结果可以看出这种离散方法可以为非线性输出延时系统在大采样周期的情况下提供准确的离散结果。表3给出了这两种情况下解算100步所用的时间。结果显示了应用SST技术并没有过大的增加计算的负担。
5、结语
本文为非线性输出延时连续系统提出了一种离散方法。该离散方法基于泰勒级数、一阶保持假设和SST技术。在小的采样周期的情况下，该方法仅基于泰勒级数和一阶保持假设就可以得到满意的非线性输出延时系统离散模型。随着采样周期的增大，为了得到满意的离散结果，泰勒级数的阶数必须相应的增大。但是这将大大的增加计算的负担。通过利用SST技术可以在大采样周期的情况下，在不过大增加计算负担的基础上，取得满意的离散结果。通过对一个典型非线性系统进行仿真所得到的结果验证了该方法的可行性。
参考文献
[1]Mrdjan Jankovic, “Control of Nonlinear Systems with Time Delay,” Proceedings of 42nd IEEE Conference on Decision and Control, Vol. 5, pp. 4545-4550, 2003.
[2]Cho Hyun Chul and Park Jong Hyeon, “Design and Stability Analysis of Impedance Controller for Bilateral Teleoperation under a Time Delay,” KSME International Journal, Vol. 18, No. 7, pp. 1131-1139, 2004.
[3]Choi Jung Soo and Baek Yoon Su, “A Single DOF Magnetic Levitation System using Time Delay Control and Reduced-Order Observer,” KSME International Journal, Vol. 16, No. 12, pp. 1643-1651, 2002.
[4]Kazantzis N. and Kravaris C., “Time-Discretization of Nonlinear Control Systems via Taylor Methods,” Comp. Chem. Engn., Vol. 23, pp. 763-784, 1999.
[5]Kazantzis N. and Kravaris C., “System-Theoretic Properties of Sampled-data Representations of Nonlinear Systems Obtained via Taylor-Lie Series,” Int. J. Control., Vol. 67, pp. 997-1020, 1997.
[6]Franklin G. F., Powell J. D. and Workman M. L., Digital Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, New York, 1998.
基金项目：江苏省高校自然科学研究项目资助（10KJB510001）
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