摘 要： 本实验所建立的非线性电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象。
关键词： 电子元件；混沌实验；非线性负阻
【中图分类号】 0415.5 【文献标识码】 A【文章编号】 2236-1879（2018）14-0196-02
引言
混沌实验研究起源于1963年美国气象学家洛伦茨（E.lorenz）研究天气预报时用到的三个动力学方程，后来他在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无论是复杂系统，如气象系统、太阳系、还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。
由于电学量（如电压、电流）易于观察和显示，因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同步应用的重要途径，其中最典型的电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路（Chua’s Circuit）。就实验而言，可用示波器观察到电路混沌产生的全过程，并能得到双涡卷混沌吸引子。
一、实验目的
观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性；了解非线性电路混沌现象的本质；学会自己制作和测量一个使用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
二、实验仪器
非线性电路混沌实验仪由四位半电压表（量程0～20，分辨率1）；-15～0～+15稳压电源和非线性电路混沌实验线路板三部分组成。观察倍周期分岔和混沌实验线路板三部分组成。观察倍周期分岔和混沌现象用双踪示波器。
"FD-NCE-II非线性电路混沌实验仪，YB4325双踪示波器，电阻箱等。
三、实验原理
利用李雅普诺夫指数λ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间（迭代次数）作指数分离：
在一维映射中只有一个λ值，而在多位相空间情况下一般就有多个λ，而且沿着相空间的不同方向，λ值一般也不同。
设ε0为多维相空间中两点的初始距离，经过n次迭代以后两点间的距离为：
式中指数λi可正可负，当其为正时表示沿该方向扩展，为负数时表示沿
该方向收缩。在经过一段时间（数次迭代）以后，两个不同李雅普诺夫指数将使相空间中原来的圆演变为椭圆。
稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则系统是不稳定的。系统只要有一个正直就会出现混沌运动。
判断一个非线性体统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。
在高维相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将更为复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。
1.非线性电路与非线性动力学。
实验电路，只有一个非线性元件，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和电容C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻V和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验中所用的非线性元件是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示中加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
2.有源非线性负阻元件的实现。
有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路，采用两个运算放大器（一个双运放TL082）和六个配置电阻来实现其电路如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
四、实验步骤
测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。
1.电感器由实验者用漆包铜线手工缠绕。可在线框上绕70-75圈，然后装上铁氧体磁心，并把引出漆包线端点上的绝缘漆用刀片刮去，使两端点导电性能良好。也可以用仪器附带的铁氧体电感器。
2.串联谐振法测电感器电感量。把自制电感器、电阻箱（取30.00Ω）串联，并与低频信号发生器连接。用示波器测量电阻两端的电压，调节低频信号发生器正弦波频率，使电阻两端电压达到最大值。同时测量通过电阻的电流值I。要求测量通过电阻的电流值I=5mA（有效值）时电感器电感量。
3.把自制电感器接入电路中，调节1+2阻值。在示波器CH1-地和CH2-地调节1+2电阻值由大到小时，描绘相图周期的分岔及混沌现象。将一个环形相图的周期定为P，那么，要求观测并记录2、4、阵发混沌、3、单吸引子（混沌）、双吸引子（混沌）共六个相图和相应的CH1-地和CH2-地两个输出波形。
五、实验结果分析
混沌现象的本质：
混沌是一种确定系统中出现的貌似不规则的有序运动。这种有序是乱中有序，是有序与无序的结合，是非线性序———混沌序。变是混沌的本性。分岔是进入混沌的途径。随着时间的推移，系统运动状态在不断变化。当控制参量λ（λ=0对应于平衡態）由小到大变化时，系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，随着分岔按几何级数的不断增长，系统由有序到无序。当控制参量达到一个临界值时系统进入混沌区，当再增大时又会遇到一个个的周期窗口，一个个混沌区……当控制参量不断减少时系统又会由混沌逐渐向有序演化。现已知道在倍周期分岔进入混沌的过程中存在一个普适常数———费根鲍姆常数（Feigenbaum contant）， 即
上式中λn是第n次分岔出现的参数值，δ是相继分岔的间距之比的极限，是一个类似π、e和普朗克常数的无理数。这是美国物理学家费根鲍姆利用计算机在1978年计算发现的。现已有数学家用泛函方法得到证明。费根鲍姆常数的存在反映了混沌演化过程中的有序性。
参考文献
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[4] 沈元华，陆申龙.基础物理实验，北京高等教育出版社，2003
[5] E.N.洛伦兹.混沌的本质.气象出版社，1997