摘 要：对电机转子转速或位置的高精度估计是实现永磁同步电机高性能无传感器控制的一个技术关键.本文提出采用一种平方根无迹卡尔曼滤波（SRUKF）方法估计永磁同步电机的转子转速.该方法无需对非线性系统方程线性化处理，在UKF算法基础上，通过引入QR分解和Cholesky分解运算，直接利用状态协方差矩阵的平方根进行迭代，进一步降低截断误差的传递积累效应和提高算法的收敛稳定性，从而改善转速的估计效果.负载突变和期望转速跳变情形下的电机无传感器控制仿真结果表明：相比传统扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波估计方法，该方法具有最小的转速估计误差，且能进一步提高永磁同步电机的无传感器控制性能和鲁棒性.
关键词：永磁同步电机;SRUKF;无传感器控制;转速估计;鲁棒性
中图分类号：TM313 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.01.007
0 引言
永磁同步电机（英文缩写PMSM）是一种新型的传动系统动力设备，在机器人、数控机床、电动汽车等领域有着广泛应用前景[1].PMSM矢量控制系统普遍采用机械式的传感器来获取转子状态（转速或位置）信息，这会造成系统成本高、环境适应性差、可靠性不高等缺陷[2].PMSM的无传感器控制方法可望解决上述问题，其技术关键主要是利用电机定子电压、电流和绕组磁链等易于检测的物理变量，制定恰当的估计算法，较精确地辨识出电机转子位置和转速信息，从而取代系统中的机械式传感器，并实现电机的高性能闭环控制[3].近十几年来，作为电机容错控制中的一种重要辅助措施，PMSM的无传感器控制方法引起了人们的广泛关注[4].目前，人们已提出多种不同类型的PMSM转子状态估计方法，其中，基于观测模型的方法应用前景最广，代表着该领域的研究主流[5];该类方法主要包括模型参考自适应（MRAS）方法[6]、滑模观测器（SMO）方法[7]，以及扩展卡尔曼滤波器（EKF）方法[8].
基于EKF的观测方法是卡尔曼滤波理论在非线性系统状态估计中的应用[9]，其主要思想是先对非线性系统进行一阶线性化处理，然后利用标准的卡尔曼滤波方法对电机转子状态进行估计.由于该方法需要对电机模型进行线性化近似处理，往往会对系统状态的统计特性（均值和方差）产生较大截断误差，从而导致传统的EKF方法估计精度不高.基于无迹卡尔曼滤波（UKF）的观测估计方法[10-11]，主要以UT变换为基础，采用卡尔曼线性滤波框架，摒弃对系统非线性环节线性化的处理做法，即无需忽略非线性函数高阶项;对于一步预测方程，直接使用UT变换进行处理均值和协方差的非线性传递.虽然UKF观测器能克服EKF观测器所固有线性化误差，具有较好的估计观测精度以及节约运算时间的特点，但仍存在因数值计算舍入误差和截断误差的积累和传递作用，而使得误差方差矩阵失去正定性，从而导致算法收敛稳定性变差、估计精度和观测鲁棒性不强等缺陷[12].
为解决上述两种方法的不足，本文开展基于平方根无迹卡尔曼滤波（SRUKF）算法的PMSM无传感器控制研究.SRUKF方法思想[13-15]，主要利用误差协方差矩阵的平方根矩阵来代替UKF算法的协方差矩阵进行运算迭代，从而保证协方差矩阵的正定性要求，防止滤波器因截断误差的积累和传递而导致算法发散;同时，该算法直接用系统状态协方差矩阵进行Cholesky分解和矩阵QR分解运算.这不仅增强了PMSM系统状态协方差矩阵更新过程中的数值计算准确性，而且能对非线性的PMSM有着较好的转子状态估计精度和鲁棒性.PMSM的无传感器矢量控制仿真结果验证了该算法的有效性.
1 非线性动态系统的SRUKF估计算法
考虑具有如下数学模型形式的离散时间非线性系统：
3 仿真结果及分析
为验证SRUKF算法对PMSM转子状态估计的有效性，本文基于MATLAB/Simulink仿真环境搭建PMSM电流环和速度环的双闭环矢量控制系统仿真模型，并将SRUKF算法模块化程序实现，用于实时估计电机转子转速及位置角度，开展PMSM的无传感器控制仿真研究.
仿真中，电机参数主要有极对数np=2，定子电阻R=1.6 Ω，定子电感Ls=0.006 365 H，磁链 Ψf=0.185 2 Wb，转子摩擦系数5.396×10-5，最大负载转矩Te =2 N·m，供电直流母线电压300 V.选取电机系统初始状态x0= [0，0，0，0]T，初始估计误差协方差矩阵P0= diag（10-5， 10-5， 200， 10），噪声协方差矩阵Q= diag（10-7 ，10-7， 0.1， 10-7），R= diag（10-5， 10-5）;采样周期Ts=10-6 s，仿真时长为1 s;权值计算相关系数κ=0，α=1，β=2.仿真中还分别考虑负载跳变和电机变速控制情形，以及对比基于EKF和UKF算法的无传感器控制仿真结果.
定义估计转速[ωr]，实际转速[ωr]和转速估计误差为[（ωr-ωr）].设置电机的启动负载为1 N·m，起始期望转速为1 000 r/min.图1—图3分别是负载跳变情况下（0.5 s时刻，负载由1 N·m跳变至2 N·m），估计转速、实际转速和转速估计误差的变化曲线图.图4—图5分别示出了变速条件下（0.5 s时刻，期望转速由 1 000 r/min跳变至1 500 r/min）估计转速、实际转速和估计误差的变化情况.
由图1—图6比较可见，3种不同的转速估计方法均能对电机转速实现有效估计，实现PMSM对期望转速的跟踪控制.然而，相比其他两种方法，基于SRUKF的無传感器控制方法具有更快的转速估计动态特性和更好的期望转速控制精度;特别是根据图3和图6可看出，在电机负载跳变和变速情况下，EKF和UKF方法的转速估计误差偏离零目标值较大，SRUKF方法的转速估计误差在零值附近变化，数值最小.这表明，有别于EKF和UKF方法，由于SRUKF算法采用状态协方差矩阵的平方根进行迭代，运算过程可有效保证协方差的正定性，使得该滤波算法具有良好的快速收敛性;同时，运算过程可提高状态协方差矩阵更新计算的准确性，可有效降低滤波算法的截断误差积累和传递效应，所以采用SRUKF方法对PMSM进行无传感器控制，不仅具有较好的转速估计响应速度和精度，以及对负载参数和期望转速的变化也有着良好的观测鲁棒性，而且可获得相比传统EKF方法和UKF方法更优的无传感器控制动、静态性能.
4 结语
PMSM无传感器控制的转子状态SRUKF估计方法，在标准的UKF滤波算法基础上，通过QR分解和Cholesky分解运算，直接利用状态协方差矩阵的平方根进行迭代，一方面可确保协方差矩阵的正定性，使得滤波算法具有较快的收敛性，从而提高算法对转子状态估计的响应速度;另一方面，可确保该方法即使在电机负载跳变和变速情况下，仍具有良好的转速估计精度和抗扰动能力.因此，本文所提算法可实现PMSM获得良好的无传感器转速控制性能.研究结果为探索控制性能更好、鲁棒性更强的PMSM无传感器控制策略，提供有用的转子状态估计方法参考.
参考文献
[1] 娄妙树，高远，袁海英，等. 电动汽车用永磁同步电机的分数阶自适应控制策略[J].广西科技大学学报，2016，27（4）： 62-67，73.
[2] 滕青芳，左瑜君，柏建勇，等. 基于MRAS观测器的无速度传感器永磁同步电机模型预测控制[J].兰州交通大学学报， 2014，33（4）：6-11.
[3] 张晓光. 永磁同步电机调速系统滑模变结构控制若干关键问题研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2014.
[4] 刘计龙，肖飞，沈洋，等. 永磁同步电机无位置传感器控制技术研究综述[J].电工技术学报，2017，32（16）：76-88.
[5] 金硕，曹勇，赵文秀，等. 电动汽车永磁同步电机无速度传感器矢量驱动系统的研究[J].辽宁工业大学学报（自然科学版），2015，35（1）：6-9，15.
[6] 易伯瑜. 永磁同步电动机高性能无传感器控制技术研究[D].广州：华南理工大学，2014.
[7] KHLAIEF A，BOUSSAK M，CHÂARI A. A MRAS-based stator resistance and speed estimation for sensorless vector controlled IPMSM drive[J].Electric Power Systems Research，2014，108：1-15.
[8] REN J J，LIU Y C，WANG N，et al. Sensorless control of ship propulsion interior permanent magnet synchronous motor based on a new sliding mode observer[J]. ISA Transactions，2015，54：15-26.
[9] 杨圣蓉，王剑平，张果，等. 基于Kalman滤波方法的感应电机控制研究[J].控制工程，2016，23（1）：30-37.
[10] 黄小平，王岩. 卡尔曼滤波原理及应用——MATLAB仿真[M].北京：电子工业出版社，2015.
[11] JULIER S J，UHLMANN J K. A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems[J]. Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering，1999，3068：182-193.
[12] 战帅，冯世民. 扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器的性能对比研究[J].信息通信，2018（5）：35-36.
[13] 梁波，郭剑鹰. 基于SRUKF的汽车毫米波雷达目标跟踪方法[J].汽车电器，2016（8）：42-44.
[14] SHEN X W，CHANG R H，YUAN D. GPS/MIMU integrated attitude estimation based on simple spherical simplex SRUKF[J].Journal of Chinese Inertial Technology，2017，25（2）：197-202.
[15] RIVA M H，WIELITZKA M，ORTMAIER T. Sensitivity-based adaptive SRUKF for online state，parameter，and process covariance estimation[C]IEEE，Conference on Decision and Control，2017：1547-1553.
[16] 田彥涛，张宇，王晓玉，等. 基于平方根无迹卡尔曼滤波算法的电动汽车质心侧偏角估计[J].吉林大学学报（工学版）， 2018，48（3）：845-852.