【摘要】结合《实变函数》的教学实践,针对《实变函数》课程抽象、枯燥等特点,在教学中要善于通过类比构建的方法由旧概念引出新概念,合理提出问题,辩证地考虑问题,将理论通俗化、形象化,最终达到激发学生学习该课程的兴趣,让学生容易接受该课程内容,提高学生数学素质的目的。
【关键词】类比 提问 反例 兴趣 数学能力
【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0119-01
1 引言
《实变函数》是20世纪初形成的一个数学分支,是现代分析数学的基础[1-3].对数学系本科学生来讲,它是在三年级上学期开设的一门必修基础课。《实变函数》处理问题的思想方法较之《数学分析》有了较大的飞跃,常使初学者感到陌生,不适应,面对习题束手无策往往加重了学生的思想负担.“教师难教,学生难学”是教师和学生共同面对的问题.
本文首先给出了《实变函数》课程教学几点体会,接着提出了自己对《实变函数》课程教学的一些思考,以利于今后的教改工作.
2 体会
有关《实变函数》课程教学体会,周性伟[4],华任志[5]等人在他们的论文中给出了自己的教学体会,本文结合我们的教学实践,针对《实变函数》课程的特点,提出自己的几点体会。
2.1通过类比构建的方法由旧概念引出新概念,把《实变函数》中的主要概念和结论与《数学分析》中的相应部分尽可能紧密地联系起来
《实变函数》的Lebesgue积分理论框架对学生来说比较晦涩难懂,直接平铺直叙令学生难以接受,运用类比构建方法可以联系学生熟悉的数学分析中Riemann积分知识体系类比出Lebesgue积分理论.
Lebesgue积分是《实变函数》重要的概念之一,在讲述这个概念的时候,如果从《数学分析》中的Rieman积分入手,引入Lebesgue积分,比较他们之间的异同,不但可以较好地理解Lebesgue积分,同时可以更好地掌握微积分Rieman积分的概念。粗 略地说,Lebesgue积分使用的是对值域进行分割, 然后求和, 求极限的方法, 这就是这两种计算法, 或两种积分的联系与区别!
又如,集合上连续函数的概念是区间上连续函数概念的推广. 由于区间只有内点和不是内点的聚点组成,而集合还可能有孤立点,甚至全部都是孤立点,因此它们有联系又有区别:函数f(x)在区间内一点xo连续的定义:
,有
.
这时由于xo是区间内点,邻域包含于区间内,因此要考察.对于一般集合,邻域不一定成立,因此有:
有
.
这两个定义的差别仅仅是后面的定义中只需要求中的x就可以了. 但是,这个小小的改变,可以得到函数在孤立点上连续的结论. 因此数列是定义在自然数集上的连续函数,这给连续函数概念增添了新的内容. 很明显,如果直接写出后面邻域形式的定义,学生一时是难以接受的。
在《实变函数》教学中还有很多概念类似Lebesgue积分和集合上连续函数的概念,可以与从数学分析中的概念入手引出新概念。如Rn中点集中很多概念都可以这样处理,Rn中点列收敛、邻域等概念,只要将数学分析中数列收敛和邻域的概念中绝对值改用距离即可。还有开集与开区间,测度与长度都可以联系起来讲解学生会更容易接受。
2.2 设置恰当的问题,激发学生学习的兴趣
教师要科学地安排提问,提问要有启发性,经过引导,循序渐进,由浅入深,最终使学生通过思考、分析、推理得出结论和答案. 例如在学习Lebesgue控制收敛定理时,我们可以首先提出问题:我们在引言中讲过,Rieman积分有三个缺陷,为此我们引入Lebesgue积分理论体系,其中有一个缺陷就是积分与极限交换的条件太强,那么Lebesgue积分中积分与极限交换的条件是什么呢？这样引入Lebesgue控制收敛定理就很自然了。 又如在学习完有限个可数集的并仍是可数集及时提出问题:有限多个可数集合的并还是可数集合,那么无限多个可数集之并是否还是可数集？一石激起千层浪,学生们积极思考,猜测. 有些学生回答:“还是可数集”;有些学生回答:“不一定是可数集了”;还有学生不知是什么答案. 这样就大大激发了他们的学习兴趣.根据学生的回答适时地引出下面的定理:可数个可数集合的并集仍是可数集合. 在《实变函数》教学中还有很多理论的学习都可以通过合理提问,激发学生学习兴趣,再解决问题来完成,让学生在快乐中学习。
2.3 辩证考虑《实变函数》课程中的概念和理论
对事物要辩证地去认识才能够认识透彻,数学中的概念和理论常需要辩证地考虑,也就是从正反两方面来认识才能够认识透彻,. 实变函数中多是概念和理论的正面叙述,学生往往很难吃透概念和理论. 在《实变函数》教学中,我们经常会给出一些辨析题,即正确的给予证明,错误的举出反例,这便是这种思想的体现。反例对学生全面理解概念和理论是非常重要的. 数学中的反例就是用以否定错误命题而举的例子. 反例可分为三类:用来否定似是而非的命题的,用来说明命题和定理的条件和结论是不可更改的,用来纠正直观上可能产生的错觉的.如给出Lebesgue不可测集合、依测度收敛而不几乎处处收敛的函数列、几乎处处收敛而不依测度收敛的函数列、Fatou引理中使得等号不成立的例子和当E的测度不是有限时,Egoroff定理不成立的例子,当E的测度不是有限时,Lebesgue定理不成立的例子等反例,在教学中除了要讲清楚书中这些反例,还可以要求学生按照这些反例的构造思路模仿类似的反例. 这样可以大大提升学生对这些重要知识的理解深度.
2.4 要善于将严谨的数学语言与通俗形象的教学语言相结合
语言的严谨性是数学语言的特点之一,在实变函数教学过程中要坚持概念和定理叙述的严谨性.如果总是严谨而枯燥的数学语言势必会使学生容易产生厌倦感觉,从而使教学效果大打折扣. 因此在不失基本的严谨性基础之上,可以对比较难理解的概念、定理和证明过程用比较通俗而形象的语言进行解释.例如在讲述Egoroff定理时,定理板书后可以用如下通俗语言说明该定理:在有限测度集合上的几乎处处收敛函数列一定是“基本上”一致收敛. 又如在讲述Lusin理时,可用如下通俗语言说明该定理:几乎处处有限的可测函数其实“基本上”是连续函数.一个通俗的“基本上”就形象地解释了一串枯燥的数学语言
“命题P在集合Eo上成立”,更加深了学生对定理的理解。
3 思考
在《实变函数》教学中,以下一些问题需要在教学中进一步探索,以便今后的教学改革。
(1)如何在教学中培养学生的创新能力。
(2)如何在教学中与科研相结合。
(3)如何找到更多更好的方法激发学生学习实变函数的兴趣,让他们对实变函数有兴趣觉得并不难学。
参考文献
[1] 广福,编.实变函数论与泛函分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2] 其骧,等编.实变函数与泛函分析基础(上册)[M].北京:高等教育出版社,1983.
[3] 性伟,编.实变函数(第二版)[M].北京:科学出版社,2007.
[4] 性伟.讲授实变函数课的点滴体会[J].高等理科教育,2000(1):42-45.
[5] 任志.上好高师数学专业实变函数的体会[J].广西师范学报,1996,13(4):62-66.匕
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