摘 要:为研究参数横摇对船舶运动和倾覆的影响,通过对船在规则波上随浪航行时,恢复力矩中出现的1个以正余弦规律变化的强参数激励项进行适当的变量置换,将船舶的横摇运动方程转换成标准形式的Mathieu方程.根据Floquet理论和方程的稳定性过渡曲线,比较2种不同改进变形参数法的求解精度,利用改进变形参数法来分析黏性阻尼变化对参数横摇稳定性的影响.仿真结果表明,增大黏性阻尼可缩小船舶横摇的不稳定区域,但黏性阻尼在不稳定区域内不能抑制横摇响应的无限增长.
关键词:强参数激励; 船舶横摇; Mathieu方程; 黏性阻尼; 过渡曲线; 稳定性
中图分类号:U661.22; U661.32文献标志码:A
Stability of ship rolling under strong parametrical excitation
WANG Linlin1, PAN Lixin2
(1. Information College, Inner Mongolia Univ. of Technology, Hohhot 010051, China;
2. Automation College, Harbin Engineering Univ., Harbin 150001, China)
Abstract: In order to study the effects of parametrical rolling on the ship movement and tilts, in allusion to ship’s navigating in regular following waves, the equation of ship rolling motion is transformed into normal Mathieu equation by proper variable replacement when strong parametrical excitation in restoring moment varied according to sine or cosine wave. According to Floquet theory and transition curves of Mathieu equation, two different modified strained parameter methods are compared on precision of periodic solutions. The effect of viscous damp on parametrical rolling stability is analyzed with the modified strained parameter method. Simulation results show that instability domain of rolling reduces in size, but infinite increase of the rolling response in instability domain is not restrained when viscous damp is increased.
Key words: strong parametrical excitation; ship rolling; Mathieu equation; viscous damp; transition curve; stability
0 引 言
船舶参数横摇是阻尼较小的船舶在顶浪或接近顶浪时,遇到一定频率的波浪并伴随显著的纵摇、升沉运动,在短时间内会产生很大横摇角的现象.[1]横摇对船舶的运动和倾覆有重要影响.船舶航行时, 与波浪周期性遭遇产生的、随时间周期性变化的恢复力矩所引起的船舶共振被认为是船舶倾覆的原因之一.[2]
目前,有多种研究横摇的数学模型均可有效模拟横摇幅值,但这些模型都以Mathieu方程为基础建立.[3]Mathieu方程有多种求解方法,如变形参数法、多尺度法以及平均化法等.张海燕等[4]在利用改进变形参数法求解Mathieu方程时,未考虑方程中存在的阻尼项,并且未对不同阻尼情况下方程解的稳定域变化作分析;戎海武等[5]
提出不同的改进变形参数法,但在确定方程解稳定域边界的精度上还需进一步验证.
本文在建立横摇模型时,考虑船舶横摇、纵摇和垂荡的耦合运动对恢复力臂曲线的影响,将船舶横稳心高的变化简化为正余弦规律的参数激励项,并研究该项为强参数激励时横摇运动方程解的稳性.
1 强参数激励下船舶的横摇模型
船舶仅在参数激励下的横摇运动可用如下微分方程[6]描述:
(I+ΔI)φ¨+Dφ•+NFDBE[ω20-Pcos(Ω t+0)]φ=0(1)
式中:φ为横摇角;I和ΔI分别为横摇质量转动惯量和流体附加质量转动惯量;D为阻尼系数;NFDBE为排水量;ω0为线性横摇固有频率;P为横稳心高周期性变化的幅值;Ω为遭遇频率;0为遭遇角,即波浪传播方向与船舶航向间夹角,由波浪传播方向顺时针度量,规定遭遇浪向在左、右舷165°～180°之间为顶浪.
式(1)两端同时除以(I+ΔI),得
φ¨+DI+ΔIφ•+NFDBEω20I+ΔI-NFDBEPI+ΔIcos(Ω t+0)φ=0(2)
令μ^=D2(I+ΔI), δ=NFDBEω20I+ΔI,ε=NFDBEP2(I+ΔI),式(2)可简化为φ¨+2μ^φ•+[δ-2εcos(Ω t+0)]φ=0(3)式(3)为典型的含阻尼项的Mathieu方程,μ^和δ为常数.在讨论强参数激励对船舶横摇稳性影响时,ε为参数,Ω和0为常数.
2 两种不同改进变形参数法的比较
横摇方程经上述变换后,得相应标准形式的Mathieu方程.为比较文献[4]
和[5]提出的2种改进变形参数法的精度,考虑船舶横摇发生在顶浪或接近顶浪的情况下,取Ω=2,0=180°,得到1个典型的受强参数激励的Mathieu方程φ¨+2μ^φ•+(δ+2εcos2t)φ=0(4)式中:δ为常数;ε>0为参数,不是小量;μ^也为0(ε)量级,
0()表示与括号内变量为同阶无穷小的变量,即μ^=με.由于ε为小量的条件通常在强参数激励下不满足,因此,不能用普通的变形参数法求强参数激励Mathieu方程,须进行改进.[7]文献[4]和[5]提出的2种改进变形参数法的主要区别在于引入小参数α替换原参数ε的方式有所不同,但都将强参数激励系统转化为弱参数激励系统.
2.1 以指数形式引入小参数α的变形参数法
设δ为ε的幂函数,即
δ=δ0+(m1-2)ε+m′2ε2+m′3ε3+…(5)
式中:δ0,m1,m′2,m′3,…均为任意常数.由于ε不是小量,引入1个新的小参数α=1-e-m1ε
(6)=则\=ε=m-11α+α22+α33+…当m1ε<0时,|α|随m1ε的减小而增大,出现α不为小量的情况;当m1ε>0时,|α|<1,因此,式(6)要求m1ε>0.如下为δ0=0,1和4时的方程解的情况,其中a和b为任意常数.
(1)δ0=0,式(4)的周期解为φ(t)=a1+α4cos2t,过渡曲线为δ=-18α2+0(α3),参数α=1-e-2ε.
(2)δ0=1,式(4)的周期解为φ(t)=a cos t+b sin t+α8m1(a cos 3t+b sin 3t),过渡曲线为δ=1+(m1-2)m-11α+m2α2+0(α2),参数α=1-e-m1ε,m1=2±1-4μ2,m2=-18m21-1m1.此时,过渡曲线有2条.
(3)δ0=4,式(4)周期解为φ(t)=a cos 2t+b sin 2t+α-a8+a24cos 4t+b24sin 4t,过渡曲线为δ=4+m2α2+0(α3),参数α=1-e-2ε.
2.2 以分数形式引入小参数α的变形参数法
此处引入小参数α=m1ε/(1+m1ε)无论ε如何取值,都有|α|<1,即可将α作为小参数.如下为方程(4)的周期解和过渡曲线,a和b为任意常数.
(1)δ0=0方程(4)的周期解为φ(t)=a1+α4cos 2t,过渡曲线为δ=-18α2+0(α3),参数α=2ε/(1+2ε).
(2)δ0=1,方程(4)的周期解为φ(t)=a cos t+b sin t+α8m1(a cos 3t+b sin 3t),过渡曲线为δ=1+(m1-2)m-11α+m2α2+0(α3),参数α=m1ε/(1+m1ε),m1=2±1-4μ2,m2=-18m21±1-4μ2m1.此时,过渡曲线有2条.
(3)δ0=4,方程(4)周期解为φ(t)=a cos 2t+b sin 2t+α-a8+a24cos 4t+b24sin 4t,过渡曲线为δ=4+m2α2+0(α3),参数α=2ε/(1+2ε).
2.3 两种方法精度的验证
为比较2种方法在分析强参数激励下船舶横摇稳性方面的精度,通过仿真得δ0=4,μ=0,0.02,0.05和0.062 5时的稳性过渡曲线,见图1.
(a) μ=0时的对比(b) μ=0.02时的对比
(c) μ=0.05时的对比(d) μ=0.062 5时的对比
根据Floquet理论,具有周期因数的线性微分方程的过渡曲线能将δ-ε平面分成稳定区域和不稳定区域;沿着过渡曲线,式(4)至少有1个解是周期性的,其周期为π或2π.[8-9]图1中,从δ0=4出发的相邻2条曲线围成的区域为横摇响应不稳定区域,其中实线为文献[4]的方法,虚线为文献[5]的方法.为验证2种方法的精度,在图1中不稳定区域之间取点P(4.06,1),当μ=0,该点横摇响应曲线发散,见图2,说明文献[4]变换得到的横摇稳定区域与不稳定区域的分界线比文献[5]
更接近于实际,即求解精度更高.
3 阻尼对船舶横摇稳定区域的影响
利用文献[4]的精度更高的方法研究阻尼变化对船舶横摇稳性的影响.
3.1 δ0为0的情况
当δ0=0时,船舶横摇稳性过渡曲线为δ=-18α2+0(α3),参数α=1-e-2ε.此时,船舶横摇稳性过渡曲线的形状与阻尼选取无关,船舶横摇稳定区域的大小不受阻尼影响.
3.2 δ0为1的情况
当δ0=1时,分别取μ=0,0.1,0.3和0.5,根据上文所述,得相应船舶横摇稳性过渡曲线的表达式.船舶横摇稳性过渡曲线见图3.
图3 δ0=1时阻尼不同的船舶横摇稳性过渡曲线
(1)μ=0时,2条船舶横摇稳性过渡曲线为
δ=1-α-98α2
α=1-e-ε和δ=1+13α-2572α2
α=1-e-3ε
(2)μ=0.1时,2条船舶横摇稳性过渡曲线为
δ=1+0.328 8α-0.349 7α2
α=1-e-2.979 8ε
和
δ=1-0.960 4α-1.100 3α2
α=1-e-1.020 2ε
(3)μ=0.3时,2条船舶横摇稳性过渡曲线为
δ=1+0.285 7α-0.373 1α2
α=1-e-2.8ε
和
δ=1-0.666 7α-0.920 1α2
α=1-e-1.2ε
(4)μ=0.5时,船舶横摇稳性过渡曲线为δ=1-1732α2\=α=1-e-2ε
3.3 δ0为4的情况
当δ0=4时,依次取μ=0,0.02,0.05和0.062 5,同理可得过渡曲线见图4.
图4 δ0=4的阻尼不同的船舶横摇稳性过渡曲线
(1)μ=0时,2条船舶横摇稳性过渡曲线为δ=4-148α2\=α=1-e-2ε
和δ=4+548α2\=α=1-e-2ε
(2) μ=0.02时,2条船舶横摇稳性过渡曲线为δ=4+0.100 9α2\=α=1-e-2ε
和δ=4-0.017 5α2\=α=1-e-2ε
(3)μ=0.05时,2条船舶横摇稳性过渡曲线为δ=4+0.079 2α2\=α=1-e-2ε
和δ=4+0.004 2α2\=α=1-e-2ε
(4)μ=0.062 5时,船舶横摇稳性过渡曲线为δ=4+124α2\=α=1-e-2ε
由图3和4可知,在强参数激励下船舶横摇响应的不稳定区域随阻尼的增加变窄,即增加阻尼可减小Mathieu方程解的不稳定区域.但在船舶横摇运动的不稳定区域内,增加阻尼不能抑制船舶横摇响应的无限增长.
4 结 论
分别利用文献[4]和[5]
的2种改进变形参数法对含阻尼项的Mathieu方程求解,得到相应的周期解和稳定性过渡曲线.通过在稳定性过渡曲线之间取点,并观察该点对应的横摇响应曲线可知,文献[4]中的方法求解精度较高.通过阻尼变化对横摇稳性影响的分析,得增大阻尼能缩小船舶横摇响应的不稳定区域,但在船舶横摇不稳定区域内,阻尼的增加不能抑制船舶横摇响应的无限增长.
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