摘要：根据几年来的教学实践，笔者从激发学生学习兴趣，恰当运用举例法，类比法等方面总结了点集拓扑教学中应注意的一些问题及心得体会.
关键词：课堂教学；兴趣；举例法；类比法
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）42-0134-02
点集拓扑是大学数学的一门重要的基础课程，其显著特点为高度的抽象性与概括性，这使得它在现代数学的许多分支如泛函分析、微分几何、微分方程等以及理论物理、计算机、电子通讯以至原子核的构造理论等自然科学及工程技术领域的诸多学科都有广泛的应用。但也正因为此，学生在初次接触时常感到非常抽象，不易于接受。因此，如何使这门课让学生易于接受，乐于接受是学生能否讲好这门课程的关键。在此，笔者从以下几方面进行了探讨。
一、增强趣味性，激发学生学习兴趣
兴趣是学习的动力。对于本科阶段的学生来说，兴趣仍然是很重要的。在这几年的教学中，我们发现学生们普遍存在的一个疑问就是为什么要学数学，学数学到底有什么用。在很多学生看来，数学不但枯燥乏味，而且不像物理、化学、计算机等专业有用。因此在学习的时候往往感到很茫然，劲头不足，只是为了学习而学习。有的学生甚至认为平时听不听课也无所谓，只要考试前突击一下，考试及格就可以了。时间一长，不但影响学生的成绩，而且使得教学只流于形式，学生的综合素质也不断下降。因此，有必要为学生解答好这些问题，激发学生对学习的兴趣，使学生能够以饱满的热情投入到学习中去。
数学发展到今天，已经成为自然科学中一门重要的基础性学科，对自然科学诸领域有着深刻而广泛的影响，在培养学生的创新精神和思维能力等方面也起到重要作用[1-3]。然而，由于课程本身的特点以及一些客观原因，使得我们在教学中对理论知识的讲解相当重视，但对这些知识在实践中的应用或与实际问题的联系则讲解得偏少。时间一长，使得学生感到所学的东西不但枯燥，而且不知有何作用，似乎只是在为学习而学习。这就要求教师在课堂上或课下有意识地与学生多进行交流活动，同时结合课程本身，向学生讲解数学各分支的背景知识、在实践中的应用及一些趣味性话题等。下面我们结合点集拓扑的教学谈两点体会。
第一，要重视绪论部分的讲解。绪论是对课程的整体性概括。一般来说，绪论中包括了本课程的起源、发展历程、在本课程发展中起到重要作用的典型问题等内容。讲好绪论对于学生明确学什么，为什么学和怎么学很有帮助。因此，在课程开始的时候，我们都要对绪论作一个较为详细的介绍。一方面，让学生对本课程有一个较为全面的了解与认识，另一方面，通过对本课程中一些典型问题和趣味问题的讲解，激发学生对本课程的兴趣。如在点集拓扑中，我们从一笔画问题、哥尼斯堡七桥问题、地图着色问题等入手，通过分析，逐步引出点集拓扑的研究内容，及其与微分几何的区别与联系等。这些都是很典型的实际问题，也很有趣，容易引起学生的兴趣。在此基础上，我们再对这门课程的起源、发展史等作一个全面的介绍，学生就很乐意接受。这样既让学生学到了知识，又达到了激发学生学习兴趣的目的。
第二，在课程中间穿插一些趣味性话题，有利于活跃课堂气氛，提高学生学习的积极性。但这样的话题不能随意选取，要与课程本身有一定关联，以实现与课堂的自然衔接。如在集合论中，会讲到罗素悖论。罗素悖论本身比较抽象，但它有一个通俗的版本，就是理发师问题[4]。这样的问题学生听得懂，也乐意听，感觉有意思。先从这样的问题入手，在此基础之上，再讲罗素悖论的起因，以及由此引发的数学危机等。这样不但激发了学生学习的兴趣，同时也让学生对集合论有了更深层次的理解与认识。
实际上，数学兼具美与实用的性质。数学本身具有美感，但数学这门学科能够屹立数千年不倒，并得到蓬勃发展，除自身美感之外，更重要的还在于它的实用性，在于其对社会发展的不可替代的推动作用。数学家L.Bers的一句话[5]很好地阐释了数学之于社会的作用：“社会十分尊重数学，这可能不是因为这个学科的内在美，而是因为数学是社会极其需要的一种艺术。”很平常的一句话，道出了数学在人类社会中所占的地位及其重要性。因此，我们在讲课时要多注意将理论知识与实际问题相结合，让学生体会所学课程的应用，这样将有利于学生以积极的心态去学习。
二、恰当的举例可以使抽象的内容形象化，起到事半功倍的效果
相对于大一大二所学过的数学分析、线性代数而言，拓扑学是一门相当抽象的数学分支，理论性很强。因此学生在初次接触到这门课时一方面感觉比较抽象，另一方面感到比较枯燥乏味，兴趣不大。在教学中我们发现，某些课堂上定理讲得比较多，学生在一开始听得还比较认真，但到后面发现定理一个接一个，注意力就会下降。根据学生的反映，结合课程本身，我们在课堂上要尽可能地引入一些直观、具体的实例，结合实例解释抽象的问题。这在很多时候都收到了很好的效果。如在讲度量子空间时，用到如下结论[6]：设X=X1×X2为度量空间X1与X2的度量积空间，x=（x1，x2）∈X。则对任意的ε>0有
B1（x1，■）×B2（x2，■）？奂B（x，ε）？奂B1（x1，ε）×B2（x2，ε），（*） 其中，B（x，ε）表示积空间X中以点为中心，以ε为半径的球形邻域；Bi（xi，ε）（i=1，2）表示X的坐标空间Xi中以xi为中心，以ε为半径的球形邻域。
这个公式看起来很抽象。当把这一公式写在黑板上时，学生的第一反应是：“为什么？怎么得来的？”我对学生说：对于这个公式，我们可以直接证明，即证明一个集合中的点都包含在另一个集合之中。当然这是理论上的，学生仍然有疑问：到底这个公式有着什么样的含义呢？于是，我们给出了下面一个例子。
考虑欧氏平面R2。设x=（x1，x2）为R2中任一点，ε>0为一正的实数。则B（x，ε）为R2中以为中心，以ε为半径的开圆盘K，而Bi（xi，ε）（i=1，2）则为坐标直线上以xi为中心，长度为2ε的开区间。于是，B1（x1，ε）×B2（x2，ε）与B1（x1，■）×B2（x2，■）分别为中心在点x，边长为2ε与■ε的正方形，它们实际上是开圆盘的外切正四边形与内接正四边形。如下图所示。
由图可以看出，公式（*）所表示的含义实际上就是：以x为中心，以ε为半径的开圆盘一定包含它的内接正四边形，同时还包含于它的外切正四边形之中。这在几何上很显然是成立的。从这个示例我们可以看出，在形式上看起来很抽象复杂的问题，换个角度来看或许就很容易理解了。
三、注意与数学分析中对应概念及其性质的区别与联系
数学分析中所讨论的空间是n维欧氏空间Rn·n=2时为欧氏平面，n=3时即为我们所熟知的3维空间。欧氏空间实际上是度量空间的一个特例。将欧氏空间再推广即得到拓扑空间。因此，拓扑学中所讨论的问题有许多都与数学分析中的相关问题是平行的。对这些问题，它们有相同之处，也有区别。如在数学分析中和拓扑学中，我们都讨论序列。但对于序列的性质，它在不同空间中其实是有很大差别的。如在欧氏空间中，序列如果收敛则它的极限必定是唯一的，但在一般的拓扑空间中，收敛序列的极限则不一定是唯一的，也就是说，如果一个序列收敛它的极限可能不止一个。这是一个很有趣的现象，出现这一现象的原因则是由于所处空间的拓扑不同。另一方面，由于度量空间也可以看作拓扑空间，因此也自然有许多共同之处。如“常值序列均收敛”、“一个序列如果收敛，则它的任一子序列也必然收敛”等，这些性质不管是在欧氏空间还是在一般的拓扑空间中都是成立的。在平时的教学中，多鼓励学生去发现这些共性与不同之处，不但可以激发学生的学习兴趣，也可以让学生体会到本课程与其他课程之间的联系。
文中所写仅为本人在教学实践中的一点心得体会。限于本人能力及经验，如有不足之处恳请各位专家予以批评指正。本文的目的在于“抛砖引玉”，以使我们在教学实践中不断总结好的教学经验及各种行之有效的教学方法，以此促进我们教学水平的不断提高与进步。
参考文献：
[1]崔丽英.浅谈如何提高大学数学课堂教学质量[J].中国西部科技，2011，10（27）.
[2]夏国坤，孔林涛.大学数学教学与学生创新能力培养[J].中国轻工教育，2004，（9）.
[3]张清年，叶晓枫.大学数学教育在创新人才培养中的地位和作用[J].华北水利水电学院学报（社科版），2011，27（4）.
[4]从山.集合与悖论——谈“集合”的定义问题[J].安徽电力职工大学学报，2003，8，（4）.
[5]张顺燕.数学的源与流[M].北京：高等教育出版社，2003.
[6]熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，2005.