摘要:泛函分析是数学专业的一门基础课程。通过对泛函分析课程的特点分析以及作者实际教学经验,从优化课堂内容,改进教学方法,提高教学效率等方面,提出了泛函分析教学改革的设想和建议。
关键词:泛函分析教学改革教学方法
中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1673-9795(2011)02(a)-0031-02
“泛函分析”是在20世纪初期从数学分析中独立并发展起来的新兴学科,是整个分析数学中最年轻的学科之一,是现代数学的一个分支。它是研究无限维线性空间上的泛函和算子理论的一门分析数学,被喻为20世纪的微积分。区别以往所称的三基(数学分析、高等代数、解析几何)[1],实分析与泛函分析、抽象代数、拓扑学合称为“新三基”,由此可见,泛函分析在数学专业教学中的重要地位。但因其高度的抽象性使得学生在学习中难学,教师难教,对有关理论的学习和运用不知所措,给人以“如入宝山而空返”之感[2]。尤其在一些地方本科院校,该问题更加突出。与重点院校相比,地方本科院校的师资和生源都缺乏优势,严重影响了该课程的教学效果。本文将根据自己的教学实践经验,对该课程的教学改革进行初步的探讨与研究。
1 泛函分析课程特点
泛函分析是综合运用分析、代数、几何的观点和方法研究分析数学中的问题[3],所以由此而产生的概念、定理和方法就更为广泛和深刻。其内容包括三大部分:一是具有代数结构和几何结构的各种空间理论,包括线性赋范空间、Banach空间、Hilbert空间等;二是建立在这些空间上的各种算子理论,包括线性算子理论和线性泛函理论;三是作为二者与其他学科的相互联系的应用。泛函分析具有如下特点。
(1)高度的抽象和统一,注重公理化体系的建立和结构分析。泛函分析是现代数学的基础学科之一,它是综合了分析、代数和几何等学科而形成的。其中有许多非数之“数”的代数结构,无形之“形”的几何结构,即抽象空间。使得泛函分析的抽象性很强。如线性赋范空间及其共轭空间。
(2)证明方法的技巧性较强。泛函分析中定理和问题的证明方法大多数是构造性证明,都需要较强的技巧。如要验证一个空间是Banach空间,先用线性赋范空间的定义中的条件一一进行验证,然后用Cauchy列验证空间的完备性。在三点不等式的应用和各类空间完备性的验证时,计算量大且不等式的技巧性强。
(3)泛函分析的主要任务是研究问题中的解答的存在性和唯一性。研究一个问题时,首先要研究其是否存在解答,解答是否唯一,然后才设计方法去解答问题。判定问题存在解答,为我们采取近似解答提供了理论依据。有些问题存在解答,但不一定能够求得出解答,如隐函数的存在性定理、毕卡定理等。
2 泛函分析课程改革思路与实践
2.1 选取合适教材,优化教学内容
一些重点大学组织了有丰富教学经验的专家教授编写了许多优秀的《泛函分析》教材。这些教材各具特色。华东师大程其襄等编著的《实变函数与泛函分析基础》以精简的形式介绍了泛函分析的核心内容,包括度量空间、Banach空间、Hilbert空间等空间以及线性算子与线性泛函的基础概念与重要定理。武汉大学刘培德编著的《泛函分析基础》是面向21世纪本科生教材系列之一。该书是考虑了近20年来“泛函分析”教学的研究成果,并依照培养21世纪优秀人才的目标所编写的;华中科技大学胡适耕编著的《泛函分析》是一本有特色与创意的教材,每章结尾都有评注,这对学生去理解内容实质和掌握方法思路极有帮助。简化或回避了一些复杂的构造,降低了难度以提高其可读性。湖南师范大学匡继昌编著的《实分析与泛函分析》是其在多年讲授泛函分析课程讲义的基础上写成的,该教材在课程体系上将传统的“实变函数论”、“测度论”和“泛函分析”3门课程融合为一个有机整体。在选用教材时,要根据学生的基础情况和学时数选择合适的教材,避免盲目贪多求新、贪难求全。否则会出现教师讲了很多内容,学生很难及时消化理解,最终使得学生对许多基础概念都理解不清,严重影响了课程教学效果。选取教材时,一味迁就学生基础差的做法也应避免。如果选用教材过于简单,就会造成一种教师退十步,学生退百步的局面,不利于人才的培养。选取合适的教材后,还应当优化教学内容,更好地达到教学目的。优化教学内容也是个教材分析与学习研究的过程。在这一过程中,明确哪些内容要讲,哪些不讲,哪些精讲,哪些略讲,哪些作为重点,哪些是难点。特别在课时少的情况下,优化教学内容就显得更为重要。
2.2 改进教学方法,充分利用形象直观的教学手段
泛函分析课程的教学任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想,加深对中学数学有关内容的理解,为进一步学习现代数学理论打好基础。但其高度抽象性使学生感到困难重重,望而生畏,从而失去对这门课的学习兴趣。如何提高学生的兴趣和信心,是学好这门课的关键。讲授泛函分析时,既要联系数学分析、实变函数、复变函数、微分方程中的相关问题,使学生了解泛函分析中所述定义定理的“来龙”,同时也要联系物理化学与应用数学中不太复杂的一些应用,讲清定理定义的“去脉”。这对于启发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,增强学生学习动力很有益处。传统上,大部分高校泛函分析课程的教学同其他课程一样,教师一边讲授,学生一边听课,做笔记,然后做课后习题加以巩固。这种过程表面上是使学生获得了大量知识,提高了教学效率。但因泛函分析课程本身高度抽象的特点,许多学生在课堂上很难接受和理解讲授知识。久而久之,会使学生产生畏难情绪。因此,可以结合教学内容,采取问题教学方式,努力为学生当好“导游”。首先设置一些问题,引导学生对这些问题思考,激发学生学习的主动性和探索性。然后教师引导学生一起对问题一一进行解答。带着问题听课,能够激发学生的学习兴趣,听课也会更加具有针对性。一位大学教师,应当能灵活地运用“传授式”、“示例式”、“建构式”三种教学法,利用自己在长期教学和科研实践中所积累起来的对数学思想和研究方法的体会,通过具体教学内容的传授,对学生言传身教,引导他们去分析、提出问题、去研究、去创新。在泛函分析的课堂教学中,也可以适当的穿插一些相关的数学史和小故事例如讲集合论时,可讲康托的贡献,说明为什么是数学思想最惊人的产物和可能是这个时代所能夸的最巨大的工作。也可讲康托当年如何被某些权威将功绩变成攻击,而住进疯人院的故事;讲勒贝格积分时,可讲勒贝格是积分学革命的先锋,也被当年某些大人物指责为“大逆不道”,是“令人痛惜的祸害”,更讲勒贝格为什么能承受巨大的挫折和磨难,靠的就是顽强的毅力,良好的心理素质和不断创新的精神,从而避免了康托悲剧的重演。讲鲁金定理时,既讲鲁金的学术成就,也讲鲁金在中学大学时代如何从害怕数学到热爱数学的转变等等。这些小故事既能够活跃课堂气氛,使学生在课堂上不会感到枯燥无味。此外,教师在教学中应注重感情投入,教师站在讲台上,充满激情,全身心地融入所进行的讲授,不是一种应付式的照本宣科,而是一种探讨问题,追求真知的态度,讲述中随着问题的深入解决迸发出内心的感慨和由衷的喜悦,教师的这些状态都会对学生产生强烈的感染,激发学生的学习热情,这时学生对听课不再感到枯燥无味,而是感觉到一种享受,一起体会泛函分析的魅力。
泛函分析是一门综合了代数、几何、分析等知识于一体,高度抽象的一门课程。对于抽象的理论、定义、定理,如果能够用形象直观的图像表示,则可使学生更深刻的理解其意义,迅速的理解掌握[4]。例如,在算子理论中,要证明算子的某个性质,大多是先用二阶矩阵来验证是否成立,或者先从矩阵中具有的某个性质,试着推广到无穷维空间中的算子是否也具有,或是利用简单直观的图形来分析,启发我们找到一般的证明求解方法。合理利用好直观教学,不只是起到降低理解抽象概念的难度的作用,对培养学生的创新意识和创造能力也是有帮助的。
2.3 突出概念、定理、课后习题的教学
泛函分析中有大量高度抽象的概念、定理。教学中,许多学生对概念只是停留在机械式的记忆上,没有深刻理解其本质,对定理的条件和结论缺乏分析,对某些难度较大的定理及其证明不求甚解。更不善于改变条件去探索新的定理及其证明,逻辑思维能力较差。为此,必须很抓概念教学和定理教学。在概念教学中,对每一个概念,尽可能联系实际,以实例为背景,逐步引入。如以N维欧几里德空间为例引进距离空间,以勒贝格测度引进环上的测度等。其次要注意比较概念的本质属性。如在学习勒贝格积分时,为了更好地掌握勒贝格积分的本质属性,引导学生对勒贝格积分和黎曼积分进行比较。在定理教学中提高学生对重要定理的条件、结论及其证明的分析能力[5]。认真分析定理成立的条件和结论。并列举反例说明条件遭到破坏时结论的变化情况,使学生较为深刻地掌握定理结论成立的条件。将突出数学思想与重视数学证明的逻辑思维训练有机结合起来,学生学习该门课程之所以不知其然或不知其所以然,甚至望而生畏往往与不了解抽象的数学符号背后的基本数学思想和形成基本概念的来龙去脉有关。反之若只泛泛讲数学思想而不讲数学证明也不能使学生真正理解现代数学中深刻的数学思想和方法,如果不通过数学证明又有谁能相信区间[0,1]与整个所包含的元素一样多。以往认为是繁琐的证明恰好是数学的核心。
习题是教材的延伸,在习题教学中要求学生一丝不苟地认真做好题目,切实掌握概念和定理的应用。泛函分析教学中,学生难学的问题不仅体现在内容抽象、难于理解,也体现在理论方法难于运用、作业困难上。不少学生对于课堂内容也往往能听得懂,但面对习题却总是束手无策。时间一久,这会使学生学不好这门课程,认为这门课难学的负面心理认识。因此分章梳理小结,选取恰当的典型题例,上好习题课,化解难点,增强学生学习信心十分重要。
2.4 重视样例、反例在泛函分析教学中的作用
由于泛函分析中其中有许多非数之“数”的代数结构,无形之“形”的几何结构—抽象空间,使得泛函的抽象性加强。作为一门分析数学课程,泛函分析中的概念、定理等理论知识相当丰富,泛函分析教学中应用样例来帮助理解抽象的概念、定理的方法,不仅可化抽象为具体,提高学生的学习兴趣,还可以充分调动其学习积极性。如泛函分析的概念具有高度的抽象性,所以教学中在引入一个新概念后,举几个符合定义条件的概念型例子把概念具体化,这对多数学生来说是非常重要的。这好比给学生一个模型,让学生具体看到新概念中的条件究意指的是什么。也可让学生看到,应怎样判断所研究的对象是否符合条件,即让学生通过例子理解概念,运用例子掌握方法。
数学中的反例,既是简明有力的否定方法,又是加深对概念和定理的理解的重要手段,它有助于发现问题,活跃思维,避免常犯易犯的错误。反例的重要性正如美国数学家Ｂ.Ｒ.盖尔鲍姆所说:“数学由两大类—— 证明和反例组成,而数学的发展也是朝着这2个目标—— 提出证明和构造反例[5]。”在泛函分析教学中,无论是在定义、定理或命题的教学中,还是在以及纠正学生错误时,都可以运用反例来帮助教学,特别是针对某些似是而非的问题时,教师更应该充分注意正本清源,而恰当运用反例,就能有效达到这个目的。例如,在度量空间中的定理:完备度量空间必为第二纲的,反过来设想一下该定理的逆是否成立。为解决这一系列问题,学生要认识到X要成为完备的度量空间,需要满足2个条件:(1)X为度量空间,即满足非负性、对称性及三角不等式等条件;(2)X为完备的,即X中任意Cauchy列都收敛。因此,所举反例只要不满足其中之一即可,例如,X是无理数全体,对x,y∈X,令d(x,y)=|x-y|,则(X,d)就是一个不完备的第二纲度量空间。在泛函分析课堂教学中恰当地运用各种样例、反例来把概念、命题或定理具体化,能使学生对概念、定理有一个较直观的认识,是提高教学效果的有效途径。
3 结语
泛函分析是培养学生分析综合能力、抽象概括能力和逻辑推理能力的一门重要课程。作为现代数学的重要课程,泛函分析从研究形态向教学形态转化,只有几十年的时间,因此没有固定模式可循。教师可根据自己的教学对象和环境,尝试不同的教学方法和模式。总之,在教学中不断的探索实践,选取合适教材,优化内容,采取好的教学方法,一定会收到好的教学效果的。
参考文献
[1]匡继昌.实函与泛函教材与教法改革研究与实践[J].数学教育学报,2001(2):84～87.
[2]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版社,1987.
[3]程其襄.实变函数和泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,2003.
[4]徐西安.泛函分析教学方法探讨[J].高等数学研究,2008(1):73～75.
[5]文开庭.泛函分析中定理教学的改革尝试[J].数学教育学报,2006(3):99～101.