摘 要：偏微分方程作为高等数学中的一种方程式，自身的实用性较强，在现实生活中具有重要的地位，被广泛应用于各个学科当中。偏微分方程的求解方法较多，运用不同的方程求解方法能够得到不同的方程解，方程解主要包括周期解、复线孤子解、椭圆函数解等。本文重点研究偏微方程求解方法，从（2+1）维耗散长水波方程的孤波解方法、HBK方程的三种Darboux变换求解方法和BK方程的Backlund变换及对称三方面内容进行分析。
关键词：偏微分方程；求解方法；变换
中图分类号：O175.29 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）19-0208-02
偏微分方程作为非线性科学领域中的一项重要研究内容，方程自身具有较强的复杂性，大多数偏微分方程的精确性不高，方程的精确求解尚不完全，确保偏微方程求解方法的精确性，成为专家学者重点研究内容。但是从过去的研究情况上来看，无法精确的求出偏微分方程解，相关的研究人员通过多年来的研究及实验，现总结出了以下三种研究方法，具体分析了偏微分方程的求解方法，确保了求解方法的合理性，有助于提升方程求解效果，提升了偏微分方程的精确性。
1 （2+1）维耗散长水波方程的孤波解方法
1.1 双曲正切法
双曲正切法函數是由Malfliet等人提出的一种非线性求解方法。在90年代中期对该方法进行了改进，将计算机代数与双曲正切法有机的结合在一起，对非线性偏微分方程进行求解，提高了偏微分方程的精确性。偏微分方程求解方法通过采用各种方法，将偏微分方程约化为常微分方程，在通过不同的方程求解方法来完成对偏微方程的孤立波解。方程求解需要按照如下步骤执行：将偏微方程转换为常微分方程；在利用双曲正切法求解时，运用双曲正切函数将方程解进行组合和叠加；对常微分方程中的非线性代数方程组进行求解；利用吴消元法求解；将所获得的方程解带入到原方程式中进行验证[1]。
例如，方程有解，需要按照公式进行求解：将利用齐次平衡法进行求解，得，n=1，。
其中，当b<0时，所求出的方程解为
，。
当b=0时，所求出的方程解为
，
当b>0时，所求出的方程解为
，。
1.2 投影Riccati法
投影Riccati法主要是利用计算机来直接进行求解的过程，通过在Riccati方程中寻找NEEs的形式来求出新的孤波解，将这个解构成初等的函数多项式。在利用投影Riccati法对偏微分方程进行求解时，需要按照以下步骤进行：针对已经给定的非现象发展方程，将方程中的自变量设置为X，t，做航波变换，会得出一个微分方程；对偏微分方程中的微分方程组进行求解，运用平衡最高阶导数项和非线性项进行求解[2]。
设有解，需要按照如下公式对方程进行求解：
1.3 齐次平衡法
齐次平衡法作为非线性偏微分方程中的一种重要求精确解方法，提升了非线性发展方程中的精确解，是一种偏微分方程求精确解的重要方法，该种方法给非线性发展方程的求解工作提供了较大的便利。齐次平衡法在求解过程中，主要包括以下四个步骤：需要利用非线性项及最高阶导数项，来求出平衡阶数m，n；了解所要求解的式中是否存在单变元函数f=f（）；明确式中是否存在，是否能够构成线性组合系数，明确与线性组合系数之间的关系，求出组合洗漱中的（1，1）拟解；如果前三步都能够确保准确无误，在计算第四步时，通过计算，来获取（1，1）的准确解。
1.4 Jacobi椭圆函数法
Jacobi椭圆函数法是建立在Jacobi椭圆余弦函数及正弦函数的基础上发展起来的严重函数，该种方法在实际的应用过程中，建立在方程复数解及实数解的基础上。为了加大对非现象问题的研究力度，需要通过非线性偏微分方程来对该项问题进行研究及分析，寻找到非现象偏微分方程的精确解，提升了非现象波动方程的意义[3]。例如，在运用Jacobi椭圆函数法来解方程时，投影Ricdati方程通常用如下式表示：或表示，式中的p，q，r为人以常数，一般的Jacobi椭圆函数方程为
2 HBK方程的三种Darboux变换求解方法
Darboux变换主要是根据HBK方程的Lax来对谱参数及其位势间的变换关系进行研究和分析，结合实际的研究结果，利用HBK方程对已经得到的“种子解”进行计算，以此来获取新的精确解。Darboux变换在进行求解的过程中，需要是结合孤子方程中的精确解来对方程进行求值，Darboux变换能够确保方程解题的精确性。但是由于在实际的解题过程中，经常出现一些孤子方程Lax很难获得情况，因此，不是所有的孤子方程在解题过程中都可以利用Darboux变换法进行求解。下面结合目前已经的HBK方程的Lax，对三种Darboux变换方程解题方法进行研究和分析[4]。
2.1 HBK方程的第一种Darboux变换
在对HBK方程进行设置时，对第一种Darboux变换方式进行分析时，设公式为：T=A0，通过上式能够看出，A0、A1、B1、C1、D1是关于x，t的函数。需要将带入到方程式中，得到如下式：
+
+
=
结合上式所得结果，需要对，i=0，1，2的系数进行比较分析，通过分析可知，公式在i=2时，公式是成立的。
2.2 HBK方程的第二种Darboux变换
在利用第二种方程进行求解时，HBK方程在实际的设置及变换过程中，需要严格按照Darboux变换方式，方程用公式表示为T=D0，从以上式中能够看出，D0，A2，B2，C2，D2都是关于x，t的函数。通过对计算结果进行分析，可知，，i=0，1，2的系数进行比较分析，通过分析可知，公式在i=2时，公式是成立的。其中，当-B2/2=B2/2-；C2/2=-1-C1/2，进而得出D0X/D0-1/2D2+u/2=-D2/2+/2，当i=0时，能够得出：
D0X/D0A2+A2x-1/2A2u+B2=-1/2A2-C2
D0X/D0B2+B2x-A2v+B2/2u=-B2/2-D2
D0X/D0C2+C2x-C2/2u+D2=A2+C2/2
D0X/D0D2+D2x-C2v+D2/2u=B2+D2/2
2.3 HBK方程的第三种Darboux变换
HBK方程的第三种Darboux变换，用公式表示为：
T=D
设α，δ，A，B，C，D是关于x，t的函数。需要将ax（）+aAx和，axB+aBx和x（+D）+Dx求解，当i=0，1，2的系数进行比较分析，通过分析可知，公式在i=2时，公式是成立的。当i=1时，可知方程式为ax+1/2aA=1/2au=1/2aA-1/2A和方程式-av-1/2aB=1/2aB-；当i=0时可得，axA+aAx-1/2aAu+aB=-1/2aA-；axB+aBx-aAv+1/2aBu=1/2aB-；axC+aCx-1/2+D=aA+1/2aC。
3 BK方程的Backlund變换及对称
3.1 BK方程的Backlund变换
BK方程主要是运用方程式Broer-Kaup方程来表示，所表示的方程式为：
和公式来表示，该方程式在实际的使用过程中，主要是运用表面色散波的可积模型进行表示，该项方程式在实际的使用贵哦成中，展现出了丰富的可积性质，主要是运用u（x， t）来表示水平速度场，运用v（x，t）来表示偏离页面平衡位置的高度。BK方程的Backlund变换主要实际的应用过程中主要是运用齐次平衡法思想，要求运用Backlund变换来求出方程解，方程用公式表示为：。该项方程式在实际的谁用过程中，需要确保（uv）x与uxxx保持平衡关系，通过以上方程式的求解能够得出m1=1.m2=2，将方程假设为：
3.2 BK方程的Backlund对称
BK方程的Backlund对称，需要考虑，Broer-Kaup方程中，在方程式及方程式中，要求要满足以下方程式和方程式t+σx+ux+vσx+ux+σvx+σxxx=0。要求对方程式进行求解，例如，在对方程式σ=a（x，t）ut+b（x，t）ux+d（x，t）u+e（x，t）和方程式=a（x，t）vt+b（x，t）vx+f（x，t）v+g（x，t）中，在对方程进行求解时，将方程式中的a，b，d，e，f，g作为方程式中关于x，t的待定函数，能够通过这些待定函数来求出函数的偏微分方程[5]。通过以上的叙述，能够得出以下解：
σ=（2k1t+2k2）ut+（k1x+k3t+k4）ux+k1u-k3
=（2k1t+2k2）vt+（k1x+k3t+k4）vx+2k1v+2k1
4 结语
偏微分方程的精确求解一直以来都是高数方程求解中的一类重要内容，受方程式自身的复杂性影响较大，导致在对方程进行求解时呈现出不精确性，不能确保方程求解的全面性及合理性。因此，为了确保方程求解的精确性，本文从一、（2+1）维耗散长水波方程的孤波解方法、HBK方程的三种Darboux变换求解方法和BK方程的Backlund变换及对称三方面的内容进行分析，帮助方程能够快速的进行求解，提升方程解的精确性。
参考文献
[1]李志华，喻军，杨红光.偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法[J].中国机械工程，2015，（4）：441-445.
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[3]冯昭，王晓东，欧阳洁.求解对流占优高阶非线性偏微分方程的迎风无单元Galerkin方法[J].工程数学学报，2014，（2）：229-238.
[4]丁亮，张学莹.应用局部近似特别解方法求解一类偏微分方程[J].江南大学学报：自然科学版，2014，（2）：232-236.
[5]张莹.特征线方法及其在求解偏微分方程中的应用[J].产业与科技论坛，2016，（20）：46-47.