【摘要】本文通过数学本科基础课的数学内容，谈三种“数学基本思想”：抽象、推理、化归（模型）思想的认识，并指出其具体应用.
【关键词】数学基本思想；抽象；推理；化归；极限
【中图分类号】G40-055
史宁中、柳海民指出：在基础学科教学中实施素质教育的基本路径有：“在基本知识、基本技能的基础上加上基本思想和基本活动经验，在分析问题和解决问题能力的基础上，加上发现问题和提出问题的能力.”那么，什么是数学（基本）思想呢？本文在这方面做一点有益探讨.
数学思想是数学文化的核心.“一般说来，称解某数学问题的原则为数学思想，而具体途径为数学方法.”张奠宙认为：“同一个数学思想，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，就称之为思想.”本文通过本科数学内容，揭示所隐含的基本数学思想及其应用.
一、抽象思想
什么是数学抽象？史宁中指出：“数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象.通过抽象得到数学的基本概念，研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法.这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，这是第一次抽象.在此基础上可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法.”其在数学分析和高等代数中大量运用.数学抽象思想，有第一次抽象，也有第二次抽象.
众所周知，运用“推理思想”可知2，3，π和e等不是有理数.这样一来，如
果说直线上布满全体有理数，当用灯光一照时，就会发现间隙，每个尚未布上有理数的点代表一个无理数，如何定义它使其与以前的定义相容？其“思想”为：将这一点左边的有理数全体记为集合M，而将该点右方有理数全体记为集合N，以分割（M，N）定义该点的数，易知，当该点为有理数时，这种定义与以前的有理数定义相容.这种思想的实现就有了实数（有理数和无理数的总称）的戴德金分割定义.
数学分析中极限定义所遵循的“极限思想”是“抽象思
*本项目通讯作者由下述项目资助：黑龙江省新世纪教改工程（重点）项目，2011
本项目作者马海凤由下述项目资助：2014/2015年度黑龙江省高校教师双语教学项目
*通讯作者
想”和“逼近思想”的
子思想，但这是第二次抽象.设变量为an（n=1，2，…），固定量a，如果当n “无限”增大时，an到a的距离“想怎么小，就怎么小”时，称当n趋于无穷时，an以a为极限.将这种“极限思想”用“数学符号”表示出来，就是“ε-N语言”的定义.初学微积分，理解这种定义很困难，其要点是“极限思想”的领悟.
二、化归思想
化归即转化和归结的意思，通常指把某些未知或较复杂的问题，转化为已知的或较简单的问题，这就是化归思想.如果将未知的现实问题，化为已知的数学问题，然后，对该数学问题进行分析，得到解析解或数值解，最后以数学解去解释原现实问题的解，这就是“模型思想”.由此可见“化归思想”应是比“模型思想”更基本的数学思想.
三、推理思想
“推理”是基本数学思想，含“演绎推理”和“归纳推理”.基本的数学思想下往往包含着子数学思想.因为这种思想应用面相对较广，如果称之为方法会让人感觉片面，况且在整体的数学思想中还存在着其他与之并列或等价的数学思想.例如同构思想和模型思想就可称之为化归思想的子思想.而“演绎推理”又是“推理思想”的子思想.
下面我们来说一下推理思想.当然，进行“逻辑推理”时，一般需几种“数学思想”并用.下面举一个日常例子.
结束语
数学分析和高等代数里所蕴含的数学思想和方法在人类的数学史上起着重要作用.许多思想和方法被当作工具应用于物理、化学等其他学科，对人类科技的进步起着奠基的作用.古人云：“授人以鱼，不如授之以渔.”这句话道出了思想和方法的重要性.数学思想是对数学知识、数学方法的本质认识.数学思想源于数学方法但高于数学方法，思想凌驾在方法之上，如果没有思想就不会有相应的方法去解决问题.如果把方法比作躯体，那思想就是灵魂和意识.
【参考文献】
[1]史宁中，柳海民.素质教育的根本目的与实施路径[J].教育研究，2007，（8）：10-13.
[2]王玉文，马海凤，赵宇华.现代数学思想选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.
[3]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].数学教育学报，2011，20（4）：8.
[4]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京高等教育出版社，2002.