三大中值定理和泰勒公式在一道题中的几种证明方法

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时间:

2021-07-08 09:47:32

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摘 要:本文通过微分等式中一道经典题来举例说明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道题中的四种证明方法。

关键词:罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式

罗尔定理(见[1] [2] [3] [4] [5])、拉格朗日中值定理(見[1] [2] [3] [4] [5])、柯西中值定理(见[1] [2] [3] [4] [5])和泰勒公式(見[1] [2] [3] [4] [5])是沟通函数与其导函数之间的桥梁,在数学分析和高等数学等数学课程中有着广泛的应用。为此,本文通过微分等式中一道经典题来举例说明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道题中的四种证明方法。

例(见[6])设函数 在闭区间 上连续,在开区间 内二阶可导,证明:至少存在一点 ,使得 .

证法一 由于对于固定的 和 , 为常数,于是

而又由达布定理可知:至少存在一点 ,使得 ,从而结论得证。

参考文献:

[1] 李成章, 黄玉民, 数学分析(第二版, 上册), 北京:科学出版社, 2007.

[2] 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 数学分析(第三版,上册),北京:高等教育出版社, 2006.

[3] 彭立中,谭小江, 数学分析(第一册), 北京:高等教育出版社, 2005.

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