摘 要：该文利用有限元模拟有微裂纹的均质弹性材料，在承受拉应力时，微裂纹的裂纹面法向张开位移，分析指定裂纹在植入不同数目裂纹情况下的裂纹面法向张开位移变化，分别计算植入五种不同的裂纹数目时，指定裂纹所引起的平均应变，并将其中4种裂纹数目下的平均应变与裂纹数目为2时的平均应变进行了比较。计算结果表明，在仅有两条微裂纹情况下，裂纹面法向的张开位移随离裂纹面中线距离呈现对称的拱形变化，且变化平滑；裂纹数量逐渐增多，裂纹间发生相互作用，使得裂纹面法向的张开位移增大，张开位移曲线也呈拱形但是变化不平滑。由指定裂纹引起的平均应变差值随裂纹数量的增加而变大，且裂纹面法向与应力成一定夹角的比裂纹面法向与应力方向平行的要大。
关键词：微裂纹相互作用 有限元分析 损伤 有限元建模
中图分类号：TU452 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（a）-0211-02
材料的微观缺陷是引起材料的损伤原因之一，而微裂纹又是微观缺陷的最常见的形式。微观缺陷存在会导致材料的力学性能的弱化，如强度、刚度、硬度、稳定性以及寿命的改变，并最终引起材料的破坏。研究材料中微裂纹之间的相互作用对材料的性能影响具有十分重要的意义。
冯西桥[1]指出材料在复杂加载情况下的微裂纹损伤演化是一个复杂问题，尤其在考虑微裂纹相互作用时是很困难的。Budiansky[2]将自洽方法应用于计算微裂纹体的有效弹性模量，并采用能量等效原理，认为微裂纹体的应变能由无裂纹基体的应变能与裂纹能组成，分析了含随机分布椭圆形微裂纹的弹性固体的有效弹性模量。Huang[3]将广义自洽方法用于描述微裂纹体。Mori-Tanaka[4]将单个微裂纹置于无损的弹性基体中，使微裂纹受到的载荷不再是远场应力，是考虑了微裂纹损伤的有效应力方法。Benvensite[4]将Mori-Tanaka方法用于描述微裂纹体，假设微裂纹置于弹性基体中且承受有效的应力，总的应变由基体的平均应变与微裂纹引起的平均应变组成，计算了微裂纹体的有效弹性模量。Hashin[5]将微裂纹体的有效弹性模量用基体的弹性模量与微裂纹密度参数，下一状态的有效弹性模量则由当前状态的有效弹性模量与新增的微裂纹密度决定再利用初始条件通过微分方法计算含随机分布椭圆形微裂纹的弹性固体的有效弹性模量。闫相桥[6]提出了平面弹性介质中主裂纹与微裂纹相互作用问题的有效数值计算方法。夏晓舟[7]等对裂纹间作用机制及微裂纹区对主裂纹的作用效应进行了探讨。袁小平等[8]研究了特定岩石材料考虑微裂纹相互作用的细观力学弹塑性损伤模型。杨卫[9]研究了随机分布共线微裂纹的强相互作用。
该文通过在均质弹性正方形薄板材料中植入五种不同数目的微裂纹，运用有限元分别模拟五种不同数目的微裂纹情况下承受一定拉应力时薄板中指定裂纹的裂纹面法向张开位移变化。第一种情况在薄板中植入一条方向与水平方向平行和一条与水平方向夹角为45°的位置相隔一定距离的两条微裂纹，并确定这两条裂纹为分析对象。其他情况的裂纹植入都以前一种情况为基准，在原有裂纹数的基础上增加相同数目的裂纹，裂纹的方向和位置随机布置布置在薄板中，分析对象同样为第一情况的确定的两条裂纹。在垂直于水平方向的薄板两边施加均布拉应力。输出五种不同数目的微裂纹情况下，指定裂纹的裂纹面法向张开位移，计算指定微裂纹引起的平均应变。通过比较不同数目下原裂纹张开位移和引起的平均应变来分析微裂纹之间的相互影响。
1 有限元建模
有限元几何模型为一正方形薄板，板的边长为50 mm。在薄板上分别植入微裂纹条数为2、4、8、16和32，微裂纹长度取为2 mm，选取2条不同方向的微裂纹a、b来分析，其余的微裂纹随机分布在微裂纹a、b周围。其中裂纹条数为32的情况如图1所示，图中红色的为裂纹a，方向与水平方向平行；图中黄色的为裂纹b，方向与水平方向成45°夹角。该模型为各向同性弹性模型，均质薄板的弹性模量取为40 GPa、泊松比取为0.25。荷载和边界条件，在方形上下两端均匀施加100 MPa的拉应力，为满足有限元积分的收敛性要求，在将模型中心一个节点在水平和铅垂两个方向的位移进行约束。将几何模型一共划分了86163个四边形单元。
2 有限元分析
薄板受到均匀拉应力时裂纹将产生张开位移，而一条裂纹中张开位移在裂纹中线两边呈对称性，取裂纹的一半来分析。将裂纹a张开位移与裂纹位置变化分别在裂纹条数为2、4、8、16、32的情况下输出并绘图如图2所示。同样裂纹b张开位移与裂纹位置的变化如图3。从图2和图3可以看出，薄板中只有裂纹a、b的情况下，裂纹a、b的裂纹面法向张开位移呈现拱形对称变化，曲线变化比较平滑；裂纹a张开位移比裂纹的b稍大。从图2、图3中还可以看到裂纹数目为4、8、16、32下裂纹a、b的张开位移随裂纹位置曲线都在裂纹数目为2的曲线之上，且曲线为不平滑的拱形曲线，说明随着裂纹数目的增加，新增的裂纹对原有裂纹面法向张开位移会产生相互作用的影响，裂纹数目的增加增大了裂纹面的法向张开位移。图2中裂纹a的张开位移在裂纹条数为32比裂纹条数为4、8、16 h；而图3中裂纹b张开位移随裂纹数的增加是增大的。
运用公式[10]（1）计算单个裂纹引起的平均应变：
（1）
式中ui、uj为裂纹在水平和铅垂两个方向的张开位移；nj、ni为裂纹面法线的方向余弦；V为正方形板的面积；da为裂纹长度的微分。在植入不同裂纹数目的情况下，裂纹a的铅垂方向的张开位移如图2所示，裂纹b的铅垂方向的张开位移如图3所示；裂纹a的裂纹面法线的方向余弦为（0，1），裂纹b的裂纹面法线的方向余弦为（-0.707，0，707）。该文分别计算了植入5种不同的裂纹数目时，裂纹a和裂纹b所引起的平均应变，并将其中4种裂纹数目下的平均应变与裂纹数目为2时的平均应变进行了比较，其计算结果如表1、表2所示。
从表1可以看出，由裂纹a引起平均应变随周围分布的裂纹的数量增加而增大，且随着裂纹数递增的而递增，当裂纹条数为4时和裂纹条数为2时的平均应变差值已达到了11.22%；当裂纹数为32时裂纹a平均应变差值已达到了18.48%。同样从表2也可以看出，由裂纹b引起的平均应变随周围分布的裂纹的数量增加而增大的，但未呈现递增关系，裂纹条数为8比裂纹条数为4的裂纹b引起平均应变差值要小1.38%。从表1、表2能看出裂纹数目的增加对裂纹b引起的平均应变的影响比对裂纹a引起的平均应变的影响要大，当裂纹数为4时裂纹a的平均应变差值为11.22%而裂纹b的平均应变差值为13.79，当裂纹数为32时，裂纹a的平均应变差值为18.48%，裂纹b的平均应变差值为20.69%，平均应变差值裂纹b比裂纹a已经大了2.21%。
3 结语
该文基于有限元软件，模拟植入不同数量的微裂纹均质弹性薄板材料施加一定拉应力作用下，指定裂纹的裂纹面法向张开位移。通过模拟计算发现裂纹数目的变化会影响裂纹面法向张开位移变化。在仅有2条微裂纹的情况下，裂纹面法向的张开位移随离裂纹中线距离呈现对称的拱形变化，在裂纹面中线张开位移最大并向裂纹两端逐渐变小。裂纹的方向与应力方向的夹角也会影响裂纹面法向张开位移的变化，当裂纹面法向方向和应力方向平行时裂纹面张开位移最大，当裂纹面法向方向和应力方向有夹角时裂纹面张开位移变小。当裂纹数量逐渐增多的情况时，裂纹间产生相互作用，从而使得原裂纹面法向张开位移增大，裂纹面法向的张开位移随离裂纹中线距离也是呈现的拱形变化，但曲线变得不平滑。裂纹数量的增加使得原有裂纹引起的平均应变增大，裂纹面法向方向与应力方向成一定夹角的比裂纹面法向方向与应力方向平行的影响更大。从这些可以看到材料中微裂纹之间会产生相互影响，使材料的力学性质发生了改变，如强度的降低刚度的变小变形等。我们在使用材料时必须考虑材料中的裂纹数量的对正常使用的影响，减少由微裂纹相互作用引起的故障和事故。
参考文献
[1]冯西桥，余寿文.包含微裂纹相互作用效应的准细观损伤力学模型[C]//第十届全国疲劳与断裂学术会议，中国广州.2000.
[2]B.Budiansky，R.J.O’Connell.Elastic moduli of a cracked solid[J].International Journal of Solids and Structures， 1976，12（1）：81-95.
[3]Y.Huang，K.Hu，A.Chandra.A generalized self-consistent mechanics method for microcracked solids[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1994（42）：1273-1291.
[4]Y.Benvensite.On the Mori-Tanaka’s method in cracked bodies[J].Mechanics Research Communications，1986，13（4）：193-201.
[5]Z.Hashin.The differential scheme and its application to cracked materials[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1988，36（6）：719-734.
[6]闫相桥.主裂纹与微裂纹相互作用的有效算法[J].力学学报，2006（1）：119-125.
[7]夏晓舟，章青，乔丕忠，等.裂纹间作用机制探讨及微裂纹区对主裂纹的作用效应研究[J].应用数学和力学，2010（1）：61-70.
[8]袁小平，刘红岩，王志乔.考虑微裂纹相互作用的岩石细观力学弹塑性损伤模型研究[J].固体力学学报，2012（6）：592-602.
[9]杨卫，张宿林，李腾.随机分布共线微裂纹的强相互作用[J].力学季刊，1997（6）： 189-195.
[10]任中俊，万玲.复杂应力下脆性岩石材料的微裂纹损伤特性[J].应用力学学报，2013（2）：7-13.