摘要
针对非线性BlackScholes方程，基于quasiShannon小波函数给出了一种求解非线性偏微分方程的自适应多尺度小波精细积分法.该方法首先利用插值小波理论构造了用于逼近连续函数的多尺度小波插值算子，利用该算子可以将非线性BlackScholes方程自适应离散为非线性常微分方程组；然后将用于求解常微分方程组的精细积分法和小波变换的动态过程相结合，并利用非线性处理技术（如同伦分析技术）可有效求解非线性BlackScholes方程.数值结果表明了该方法在数值精度和计算效率方面的优越性.
关键词非线性BlackScholes方程；插值小波算子；精细积分法
中图分类号O211.63 文献标识码A
1引言
期权又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具.就期权其本身而言，它并不是某一独立的证券，但它通常又是由证券衍生而来，依附于某一证券且以其为标的资产，因而常称衍生证券或金融衍生产品[1].因此，期权定价和标的资产（股票、有价证券等）价格密切相关，而标的资产价格往往遵循某种随机过程.期权定价理论的研究具有一定的挑战性，是持续近50年的研究热点.1973年，Black和Scholes在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列的假设下，运用连续交易保值策略推导出了著名的BlackScholes期权定价模型，并建立了看涨期权定价公式[2].与此同时，Merton也发表了类似的期权定价公式[3].该成果是金融衍生证券发展史上的里程碑，为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础.该定价模型和公式的创新之处在于期权的价格不依赖于投资人的个人偏好，把所有投资人引向同一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界.但BlackScholes模型设置了太多的假设，很多假设并不符合实际情况，如无税收和交易成本，无套利机会等[4，5].因此，近20年来非线性BlackScholes模型一直是学术界研究的重点.在非线性BlackScholes模型中可以将很多实际因素如交易费用[6，7]、无保护组合投资风险等影响股票价格、波动率、漂移率和期权价格本身的因素考虑进去[8-10].一般很难导出非线性BlackScholes方程的精确解析解[11].
已有的数值求解方法通常先将非线性期权定价模型变形为抛物型偏微分方程，然后采用有限差分法进行求解[11，12].事实上，非线性BlackScholes方程变形后得到的抛物型偏微分方程的解具有明显的激波存在.因此，相对于其他方法，自适应多尺度方法更有利于求解该非线性偏微分方程.文献[13]给出了一种多尺度插值小波方法，论文给出的数值结果体现了这种方法的优越性.近年来，笔者构造了多尺度小波插值算子，结合求解常微分方程组的精细积分法导出了求解非线性偏微分方程的小波精细积分法.本文的目的是将小波精细积分法应用于求解非线性BlackScholes方程的求解中.
2非线性BlackScholes方程
2.1模型描述
欧式看涨期权持有者有权在在期权到期日（T）以执行价格K购买指定数量的标的资产S（t），期权售卖者也有义务按照执行价格卖出标的资产.因此，期权到期后的价值可表示为：V（S，T）=（S-K）+.相反，看跌期权则是期权持有者有权将标的资产按照执行价格卖给期权售卖者，因此，看跌期权到期后的价值可表示为：V（S，T）=（K-S）+.欧式期权只能在到期日进行交易，而美式期权可以在到期日前的任意一天进行交易.这就导致美式期权和欧式期权的定价公式有很大区别.
BlackScholes模型的提出使得期权定价理论获得突破.线性BlackScholes 模型的解可表示为偏微分方程：
市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
股票资产在期权有效期内不支付红利及其他所得（该假设可以被放弃）；
金融市场不存在无风险套利机会；
金融资产的交易可以是连续进行的；
可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作.
在以上假设条件下，任何资产均可用市场上的其他资产的投资组合进行复制.通过将线性BlackScholes模型变形为热传导方程可以得到期权价格的解析解.
显然，这些严格的假设并不符合实际情况.如果考虑交易费用，该模型将变为强非线性问题，如退化对流扩散方程，漂移率和波动率同时和时间、标的资产价格S以及期权价格V自身相关.本研究将线性BlackScholes模型推广为考虑交易费用的欧式期权和美式期权的非线性模型，在这些模型中漂移率为常数而波动率为
如果不支付红利且波动率为常数，美式看涨期权和欧式看涨期权的价格相等，因此式（1）不适合用来描述美式期权的价格.式（2）中的波动率是的函数，将需要支付的红利考虑进去，便可得到美式期权定价方程
数值求解结果如图2所示.由此可见，自适应小波数值方法可有效捕捉看涨期权价格演化过程中梯度变换加大的位置，在激波处自适应增加配点数.由于只是在局部增加配点，既保证了解函数在出现激波的位置处的逼近精度，也避免了非自适应方法全局增加配点所带来的计算量的增加.
此外，为验证该方法在分析期权定价方面的有效性，将Leland模型的小波精细积分法求解结果和线性BlackScholes方程的精确结果进行了对比，其误差如图3所示.两种模型得到的期权价格差异主要体现在执行价格附近，随着在执行价格附近交易量的增大，交易费用所带来的期权价格波动率的增大也体现出来.其直接结果是非线性BlackScholes模型计算得到的期权价格在执行价格附近更符合实际结果.这也从另外一个角度验证了本文所给出的方法的有效性.
计算结果如图4所示，该图只绘制了非线性模型和线性模型得到的计算结果的差异由该模型得到的结果相对于其他模型和线性模型得到的结果差值更小一些
3）风险调整定价方法
该模型试图寻找两次相邻交易时间间隔的最优值，使交易费和无保护组合的风险率降到最低.这种情况下的波动率可采用以下形式
计算结果如图5所示，该图只绘制了非线性模型和线性模型得到的计算结果的差异.由该模型得到的结果和Leland模型相差不大.
4.2计算精度和效率对比
4.2.1小波精细积分法和有限差分法
线性BlackScholes模型具有精确解析解，因此，通过对线性模型进行求解可以对比小波精细积分法和有限差分法的数值精度和计算效率.线性BlackScholes模型具有精确解析解可表示为
其中y是分红率分别用有限差分法和自适应小波数值方法对线性BlackScholes模型进行求解，结果如图6所示由图6可见，尽管两种方法在执行价格附近的波动都较大，但有限差分法在其他点处的误差明显较大有限差分法采用空间均匀离散方法，总离散点数为4 096个；自适应小波数值方法的离散点数则在211-242之间动态变化，计算量大大低于有限差分法，充分体现了小波数值方法的优越性
看涨期权和线性看涨期权的差异
小波和RungeKutta方法组合也是求解非线性偏微分方程的常用方法，为说明小波精细积分方法求解非线性常微分方程的有效性，下面对小波自适应精细积分法和小波自适应四阶RungeKutta方法的数值结果进行对比.
采用小波精细积分法求解，误差只出现在解的梯度较大执行价格附近，其它位置的误差几乎为0，而RungeKutta法的误差在其它位置也比较明显，尤其在边界附近比较明显.另外注意到，即使采用精度较高的多步法，如AdamsBashforthMoulton方法，在边界附近产生的误差也非常明显.表2给出了这三种方法的数值结果在不同时刻的最大误差，从中可以看出，小波精细积分方法的计算精度优于另外两种方法.
表2Leland方程数值结果的最大误差
5结束语
BlackScholes模型不但在期权定价方面得到广泛应用，在其他金融衍生产品如期货、风险投资等领域也得到越来越多的应用，随之而来的是不同的非线性期权定价模型不断被提出.因此，高效的数值求解方法或近似解析方法具有非常重要的理论意义和实用价值.小波数值方法其实属于一种半解析方法，充分利用了小波变换的自适应性和精细积分方法的高精度特性.但同时注意到，非线性BlackScholes模型相对于时间参数是弱非线性方程，将弱非线性方程的处理方法（如摄动法）引入本文方法有望进一步提高方法的计算效率.
参考文献
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