摘要 针对数学教材中关于初等函数的概念存在的一些歧异, 本文对初等函数作了形式类划分, 在教学中可以避免混淆, 便于学习与研究。
关键词 初等函数 形式类
从中学数学到大学的数学分析教程里, 所讨论的函数主要是初等函数。但是, 现行的教材与文献关于初等函数的概念存在着一些歧异, 这对教学与学习是不利的。因此, 对这个概念有一个较全面而深刻的认识是必要的。常见的教材及文献中关于初等函数的定义有:
由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合所得到的函数, 称为初等函数[1]。
由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合构成, 并且是用一个解析式表达的函数, 称为初等函数[2]。
由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合构成, 并且可以用一个解析式表达的函数, 称为初等函数[3]。
上述定义中, 定义[1]对初等函数的表达形式没有要求,而[2]、[3]对初等函数的表达形式有要求, 其中, [2]要求初等函数是用一个解析式表达, 而[3]要求初等函数可用一个解
我们知道, 函数类的划分是注重其对应规律的本质的。这里, 按对应本质的分类不妨称为本质类划分, 例如: 反函数、增函数、周期函数和有界函数等是本质类划分, 这类函数与它的表写形式无关。此外, 函数一般是用某种形式来表达的, 为了便于研究, 我们往往描述出函数的表达形式, 并赋予其相应的称谓。如: 分段函数、隐函数、积分上限函数、函数项级数等, 这种按表达形式划分的函数, 姑且称为形式类函数。
初等函数系统性的定义是刘维尔1834 年提出来的,《数学百科辞典》称:“代数函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数或由它们有限次的合成得到的函数, 称为
在初等数学和数学分析教程中, 都要对初等函数特别是用解析式表达的初等函数进行重点讨论。为了澄清概念、避免混淆, 便于学习与讨论, 这里我们对于初等函数[4]作形式类划分。
在数学教材中, 关于初等函数定义[1]、[2]、[3]的描述, 本意上是为了简化概念, 便于学习而出现的, 但是产生了一些歧异, 在学习上就会有互不相容的概念与认识。本文提出了上述的关于形式类初等函数的概念, 对定义[1]、[2]、[3]比照分析: 定义[3]有不妥之处, 里面含有判断, 它与“定义”的概念是不相符的。定理与定义是应分开来写的, 诺窪塞洛夫的教程便是这样处理的[7]。定义[2]下的初等函数应该为显形初等函数, 作为定义应是确切而精炼的, 但[2]有重复之嫌, 定义[1]下的初等函数与有形初等函数等价。
有了本文的这些形式类的划分, 对于初等函数的概念就有了一个清晰的、全面的、统一的认识, 在教学与研讨中就可以避免歧异与混淆, 这对于讲授与学习和研究与探讨是大有裨益的。
参考文献
[1] 陈传璋等.数学分析[M].高等教育出版社,1986:25; 曹才翰.初等代数教程.北京师范大学出版社,1993:271.
[2] 余元希等.初等代数研究[M].高等教育出版社,1991:282; 李长明等.初等数学研究.高等教育出版社,1996:178.
[3] 樊映川.高等数学讲义[M].人民教育出版社,1960:255; 盛祥耀主编.高等数学[M].高等教育出版社,2003:7.
[4] 日本数学会.科学出版社译.数学百科辞典[M].科学出版社,1984:676、43.
[5] 格·马·菲赫金哥尔茨著,吴新仁, 陆秀丽译.数学分析原理[M].第一卷第一分册.人民教育出版社, 1964:50、34.
[6] 别尔曼特著, 张理京译.数学解析教程[M].第一卷.高等教育出版社, 1956:36.
[7] 诺窪塞洛夫著, 张禾瑞等译.代数与初等函数[M].高等教育出版社, 1958:362.