摘 要：在学习数学的过程中，需要找出数学问题中的系列问题，归纳找出不同解决方法。在数学分析中，不等式证明是可以看做一个系列问题来看待的，也是数学的重要组成内容。不等式的应用占有极其重要的地位，其证明方法多样化，本文主要研究利用函数的单调性、最值法、微分中值定理和格朗日余项泰勒公式解决不等式问题，以及如何适当利用数分中的知识，探讨证明不等式的方法和步骤，从而对知识进行系统化，加深对相关理论知识的理解。
关键词：高等数学；不等式；证明
不等式是数学中的重要内容，也是数学中的重要方法和工具。在数学分析中，微分中值定理、函数单调性判定定理及极值等重要内容的结论都可以证明不等式。
一、用函数的单调性证明
函数的单调性是函数的一个重要性质，函数的单调性与不等式密切相关。在证明不等式中，通过联想构造函数，一般取不等式为两边函数之差，将常量作为变量的瞬时状态置于构造函数的单调区间内，从而证明不等式是大于还是小于0即可。
即用函数的单调性证明不等式β（x）>λ（x）的方法：设β（x）-λ（x）=θ（x）为构造的函数；求θ′（x），并在给出的区间内证出θ′（x）≥0且θ′（x）=0的点；在去掉θ′（x）=0的点构成的区间，即得证β（x）>λ（x）。
例1：证明不等式x-■
证明：（1）构造辅助函数f（x）=ln（x+1）-x，g（x）=x-■-ln（x+1）.
（2）求f′（x）和g′（x）并判断其符号.
当x≥0时，f′（x）=■-1=■≤0，且只当x=0时，f′（x）=0，所以f（x）在（0，+∞）上是严格单调递减的，则对？坌x>0，有f（x）
二、用最值法证明
利用最法证明不等式是较为简单的一种方法，以下从单值变量和多值变量两种情况进行分析。
1.单值变量
要证明f（x）≤M（a 具体思路：先求出f′（x）在（a，b）内的驻点xi（1≤i≤m），验证f（xi）≤M；再讨论函数在区间端点的函数值f（a）、f（b）≤M（当a=-∞或b=+∞时，f（a）或f（b）理解为极限）。 同理，如果f（x）≥M（a 例2：证明：当x∈[0，1]，p>1时，21-p≤xp+（1-x）p≤1. 分析：因为要证明不等式实际是21-p和1分别为函数xp+（1-x）p在[0，1]上的下界和上界，所以可以讨论函数在[a，b]上的最小值和最大值。 证明：设函数f（x）=xp+（1-x）p在[0，1]上连续，则其一定有最小值和最大值。对函数f（x）求导，有f′（x）=pxp-1+p（1-x）p-1.从而得到函数唯一的驻点x=■，并且f（■）=21-p.又因为f（0）=f（1）=1>f（■），所以■f（x）=1，■f（x）=21-p由此可知21-p≤f（x）≤1，即得所要证明不等式21-p≤xp+（1-x）p≤1. 2.多值变量 在证明不等式中，适当选择目标函数和相应的限制条件，应用求多元函数的条件极值的方法证明，将其中的某些变量作为常量转换为一元不等式或者利用拉格朗日乘数进行证明，即得证。 （1）转换为一元不等式 例3：证明不等式■≥（■）n，其中n≥1，x≥0，y≥0. 证明：设目标函数为f（x）=■-（■）n，则f′（x）=■-■有唯一的零点y，并且f（y）=0，因此f（x）≥f（y）=0，即■≥（■）n. （2）利用拉格朗日乘数进行证明 在多元函数中，有许多问题是在一定条件下进行讨论的，那么对于有多个变量的不等式而言，也可以看成是带有条件的函数极值问题，从而可以利用拉格朗日乘数进行证明。 例4：证明不等式x21+x22+…+x2n≥■，其中xi>0，i=1，2，…，n 证明：设函数f（x1+x2+…+xn）=x21+x22+…+x2n，求在条件x1+x2+…+xn=X下的最小值。根据拉格朗日乘数法，做辅助函数如下： L（x1+x2+…+xn）=x21+x22+…+x2n+η（x1+x2+…+xn-C）， 则■=2x1+η=0，…，■=2xn+η=0， 由此解得x1=x2=…+=xn，将此代入条件解得x1=x2=…=xn=■. 因为函数f（x1，x2，…，xn）只存在最小值，故在点f（■，■，…，■）处取得最小值，即f（x1，x2，…，xn）=x21+x22+…+x2n≥■， 从而x21+x22+…+x2n≥■=■， 所以x21+x22+…+x2n≥■. 三、用微分中值定理证明 1.利用柯西中值定理证明 柯西中值定理：如果函数f（x），g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且g′（x）在（a，b）内每一点均不为零，那么在（a，b）内至少存在一点ξ，使得■=■. 柯西中值定理是研究两个函数f（x），g（x）的变量关系的中值定理，当一个函数（不妨设此函数为g（x））取作自柯西中值定理变量自身时它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明，反之则不然。 例5：设x>0，求证：|sinx| 证明：设f（t）=sint，g（t）=et，t∈[0，x]，f（x），g（x）在闭区间[0，x]上连续，在开区间（0，x）内可导，且g′（x）在（0，x）内每一点均不为零，那么柯西中值定理可得：■=■，ξ∈（0，x），即■=■，ξ∈（0，x），因为ex-1>0，eξ>1>0，所以■=■<1，即|sinx| 2.利用拉格朗日中值定理证明 拉格朗日中值定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在开区间（a，b）内至少存在一点x0，使得： f′（x0）=■或f（b）-f（a）=f′（x0）（b-a）. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）=f（b）时的特殊情形。 拉格朗日中值定理也可以表述为以下形式： （1）f（b）=f（a）+f′[a+λ（b-a）]（b-a），（0<λ<1）； （2）若令b-a=h，则有f（a+h）-f（a）=f′（a+θh）·h，（0<θ<1）. 例6：（1）如果x>0，试证■ （2）求证：|arctgβ-arctgα|≤|β-α|. 证明：（1）令f（x）=ln（x+1），f（x）在區间[0，x]（x>0）上连续，在（0，x）（x>0）内可导，应用拉格朗日中值定理，则有ln（x+1）-ln1=■，ξ∈（0，x）. 由于在闭区间[0，x]上，有■<■ （2）当α=β时，显然等号成立. 当α≠β时，不妨设α>β.设f（x）=arctgx，x∈（β，α）， 由拉格朗日中值定理得，■=■，ξ∈（β，α）. 则有arctgα-arctgβ=■（α-β）， 所以|arctgα-arctgβ|=|■（α-β）|≤|α-β|. 四、用拉格朗日余项泰勒公式证明 带有拉格朗日余项的泰勒公式： 若函数f在[a，b]上存在直至n阶的连续导函数，在（a，b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+■（x-x0）n+1对于所给条件涉及到具有二阶或者较高阶导数的不等式，应用泰勒公式的关键是确定关于哪一点求函数的展开式，进一步通过对余项的估计来推出所需证明的不等式。 泰勒公式在证明不等式中的应用： 如果函数f（x）的二阶和二阶以上导数存在且有界，利用泰勒公式证明这些不等式，证明步骤如下： （1）构造一个函数f（x），选一个恰当点x0将函数在该点进行泰勒展式，然后写出f（x）在x0处的带有拉格朗日余项的泰勒公式（该选择在哪个点处展开，如端点、分点、零点、极值点、最值点、拐点等）。 （2）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式对ξ∈（a，b）进行放缩。 例7：当x≥0时，证明sinx≥x-■x3. 证明：由于sinx=x-■+■+…+（-1）n-1■+o（x2n）， 取f（x）=sinx-x+■x3，x0=0， 则f（0）=0，f′（0）=0，fn（0）=0，fm（x）=1-cosx，fm（0）≥0， 代入泰勒公式，其中n=3，得f（x）=0+0+0+■x3，其中ξ∈（0，1）.■x3≥0，故当x≥0时，sinx≥x-■x3. 不等式证明可以采纳多种证明方法，每一种方法具有一定的适用性，可以总结归纳出其中的规律，灵活应用，证明步骤熟练掌握，遇到具体问题还得具体分析。 参考文献： [1]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：人民教育出版社，1999. [3]刘玉莲、傅沛仁.苏学分析讲义[M].北京：人民教育出版社，2000. [4]张天虹.泰勒公式在解题中的研究[J].数学教学与研究，2009（51）：94-95. [5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006（4）. [6]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究，2008，28（10）.