《 二项式定理 》知识点及习题
一．二项式定理
0 1 1 1 *( ).nn n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N
1.右边的多项式叫做 na b 的二项展开式
2.各项的系数rnC 叫做二项式系数
3.式中的r n r rnC a b叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第 1 r 项，即1( 0,1,2, , ).r n r rr nT C a b r n
4.二项展开式特点：共 1 r 项；按字母 a 的降幂排列，次数从 n 到 0 递减；二项式系数rnC 中 r 从 0 到n 递增，与 b 的次数相同；每项的次数都是 . n
二．二项式系数的性质 性质 1
na b 的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n mn nC C
性质 2
二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m mn n nC C C
性质 3
na b 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 2 n ，即0 12 .n nn n nC C C
（令 1 a b 即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）
性质 4
na b 的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项
的二项式系数的和，即
0 2 2 1 3 2 1 12 .r r nn n n n n nC C C C C C
（令 1, 1 a b 即得）
性质 5
na b 的二项展开式中，当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,nnC 12nnC相等，且同时取得最大值 . （即中间项的二项式系数最大）
【题型精讲】
题型一、展开式中的特殊项 1．21( ) n xx 的展开式中，常数项为 15，则 n = A．3
B．4
C．5
D．6
2.在 1nx n N 的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则 n
A．8
B. 9
C. 10
D.11
3．如果2323nxx 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为（
）
Ａ．3
Ｂ．5
Ｃ．6
Ｄ．10 题型二、展开式的系数和 1.已知 100 2 1000 1 2 1001 2 1 1 1 . x a a x a x a x
求：（1）0a ；（2）0 1 2 100a a a a （3）1 3 5 99a a a a ； 2.（江西理 4）已知33nxx 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64 ，则 n 等于（
）
Ａ． 4
Ｂ． 5
Ｃ． 6
Ｄ． 7
3.（江西文 5）设2 9 2 110 1 2 11( 1)(2 1) ( 2) ( 2) ( 2) x x a a x a x a x ，则0 1 2 11a a a a 的值为（
）
Ａ． 2
Ｂ． 1
Ｃ． 1
Ｄ． 2
4.(安徽文 12)已知45 2 3 50 1 2 3 4 5(1 ) x a a x a x a x a x a x , ( ) )(5 3 1 4 2 0a a a a a a
的值等于
. 题型三、一项展开:拆成两项 1.233 除以 9 的余数是（
A．1
B．2
C．4
D．8
题型四、多项展开：
1.（| x |＋| |1x－2）3 展开式中的常数项是（
A．12
B．－12
C．20
D．－20
2.求 21 1 1nx x x
展开式中3x 项的系数 .
二项式定理
1 1 、展开式中的特殊项
1．解．21( ) n xx 的展开式中，常数项为 15，则223 3 31( ) ( ) 15n n nnC xx ，所以 n 可以被 3 整除，当 n=3 时，133 15 C ，当 n=6 时，2615 C ，选 D。
2.答案】C
解析】只有5x 的系数最大，5x 是展开式的第 6 项，第 6 项为中间项，展开式共有 11 项，故n=10 3．答案：选Ｂ
解析：由展开式通项有 21323rn rrr nT C xx 2 53 2rr n r n rnC x
由题意得 52 5 0 0,1,2, , 12n r n r r n ，故当 2 r 时，正整数 n 的最小值为 5，故选Ｂ 2 2 、 展开式的系数和
1.1003 、1005 、21 5 100
2.解析：展开式中，各项系数的和为 4n ，各项二项式系数的和为 2 n ，由已知得 2 n =64，所以 n=6，选 C 3.解析：令 2 x =1，右边为0 1 2 11a a a a ；左边把 1 x 代入 2 9 9( 1)(2 1) 2( 1) 2 x x ，0 1 2 112. a a a a 选 A. 4.解析：已知45 2 3 50 1 2 3 4 5(1 ) x a a x a x a x a x a x , ∴0 2 4 1 3 5( ) 16 a a a a a a
则 ( ) )(5 3 1 4 2 0a a a a a a =－256 3 3 、 一项展开: : 拆成两项
1 解析：111110119 21110 11111 01111 11 33C 9 C 9 C 9 C 9 C ) 1 9 ( 8 2 10 011 9(C 9
) 1 C 9 C 9 C 9 (C 9 1 ) C 9 C 9 C10118 2119 11110 01110118 2119 111 , 8
故余数为 8，选 D．
4 4 、 多项展开 ：1.解法一：∵6 3)| |1| | ( ) 2| |1| (|xxxx
∴展开式的通项为
r rrx T66 1) | | ( C·r r rx) 1 ( C )| |1(6 ·rx2 6) | | ( 令 6－2 r ＝0，得 r ＝3
∴ T 4 ＝36C
（－1）3 ＝－20 ∴所求常数项为－20 解法二：∵（| x |＋| |1x－2）3 ＝36| ||) | 1 (xx ∴（1－| x |）6 中| x | 3 的系数A ＝36C
（－1）3 ＝－20 评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两种转化方式 2.3 3433 nC C C