直线的倾斜角与斜率
自主归纳、自我查验
1 1 、 自主归纳
（1）倾斜角的概念
当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，_______与直线ｌ____方向之间所成的角α叫做直线ｌ的倾斜角。
（２）倾斜角的取值范围 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°。因此，直线 l 的倾斜角 α的取值范围为___________ （3）斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角 α 的______叫作这条直线的斜率，通常用小写 K 表示，即k=tanα 倾斜角为 90°的直线没有斜率。
（4）过两点的直线的斜率公式 过两个定点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) 的直线：
) (2 11 21 2x xx xy yk （5）．两条直线平行与斜率的关系 a 对于两条不重合的直线 l 1 ， l 2 ，其斜率分别为 k 1 、 k 2 ，有 l 1 ∥ l 2 ⇔_k1＝k2_______． b 如果直线 l 1 、 l 2 的斜率都不存在，并且 l 1 与 l 2 不重合，那么它们都与__x 轴______垂直，故 l 1 ______∥__ l 2 ． （6）两条直线垂直与斜率的关系 a 如果直线 l 1 、 l 2 的斜率都存在，并且分别为 k 1 、 k 2 ，那么 l 1 ⊥ l 2 ⇔__k1k2＝－1________． b 如果两条直线 l 1 、 l 2 中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么 l 1 与 l 2 的位置关系是____垂直____． 自我查验
（1）判断正误
坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率。
（
³）
直线的倾斜角越大，其斜率就越大。
（ ³ ）
直线的斜率为 tanα，则其倾斜角为 α。
（ ³ ）
（2)已知直线 l 的倾斜角为 α-15°，则下列结论中正确的是（ D ）
A. 0°≤α<180°
B. 15°<α<180°
C. 15°≤α<180°
D. 15°≤α<195°
（3）．有以下几种说法：( l 1 、 l 2 不重合) ①若直线 l 1 ， l 2 都有斜率且斜率相等，则 l 1 ∥ l 2 ； ②若直线 l 1 ⊥ l 2 ，则它们的斜率互为负倒数； ③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行； ④只有斜率相等的两条直线才一定平行． 以上说法中正确的个数是(
B ) A．1
B．2
C．3
D．0 二、 典型例 题
题型一、求直线的倾斜角
例 1、若直线 l 过原点和（-1,1），则它的倾斜角是（
）
A.45°
B.135°
C.45°或 135°
D.-45°
破题思路：作出直线 l 的图像，根据图像得答案
答案：B
方法与规律：主要考察对直线倾斜角的理解和图形的结合，由点的坐标来计算倾斜角的大小。
变式训练：设直线 l 过原点，其倾斜角为α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为（
）
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当 0°≤α<135°时为α+45°;当 135°≤α<180°时为α-135°
破题思路：由倾斜角的定义与倾斜角的取值范围可得。
答案：α范围不定，分两种情况讨论可知，选 D
方法与规律：本题需注意倾斜角的取值范围，不然易错选成 A。
题型二、求直线的斜率
例 2、已知直线1l 的倾斜角α=30°，直线2l ⊥1l ，则直线2l 的斜率为（
）
A. 3
B.- 3
C.33
D.-33 破题思路：由2l ⊥1l ，知2l 的倾斜角为 120°，所以2l 的斜率为 tan120°=- 3
答案：B 方法与规律：对求解直线的斜率的考察 变式训练：已知坐标平面内△ABC 的三个顶点坐标分别是Ａ（－１，１）， Ｂ（１，１），Ｃ（１，－１），求直线 AB，BC，ＡＣ的斜率。
破题思路：已知点的坐标可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等。
解析：直线 AB 的斜率 k=) 1 ( 11 1 =0，直线ＡＣ的斜率ｋ＝) 1 ( 11 1 ＝－１
∵Ｂ，Ｃ两点的横坐标相等
∴直线ＢＣ的斜率不存在 方法与规律：当两点的横坐标相等时直线斜率不催在。
错例分析：数形结合的应用
例３：直线ｌ过点ｐ（１，０），且与以Ａ（２，１），Ｂ（０， 3 ）为端点的线段有公共点，求直线ｌ的斜率和倾斜角的范围。
破题思路：运用数形结合的思想求解。
解析：ＡＰ斜率Ｋ＝1 20 1＝１，ＢＰ斜率Ｋ＝1 00 3＝ 3
∴ｋ≤－ 3 或ｋ≥１
４５°≤α≤１２０° 易错分析：本题易忽略斜率不存在的情况，易错解为- 3 ≤ｋ≤１
应用体验
１、直线 x=1 的倾斜角和斜率分别为（
）
A.45°，1
B.135°，-1
C.90°，不存在
D.180°，不存在 答案：C 2、若过点 M（-2,0），N（a，4）的直线的斜率为-21，则 a=（
）
A.-8
B.10
C.2
D.4 答案：B 3、若 A（-2,3），B（3，-2）,C（21，m）三点共线，则 m 的值为（
）
A21
B.-21
C.-2
D.2 答案：A 4、已知两点 A（-3,4），B（3,2），过点 P（2，-1）的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线 l的斜率 k 的取值范围. 答案：k≤-1 或 k≥3 5、已知实数 x，y 满足 y=-2x+8，且 2≤x≤3，求xy的最大值和最小值. 答案：最大值为 2，最小值为32. 复习与巩固
A A 组
一、选择题. 1.(2014²上饶高一检测)直线 l 的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为(
) A.1
B.
C.
D.-
【解析】选 B.因为 tanα= ，0°≤α<180°，所以α=30°， 故 2α=60°，所以 k=tan60°= .故选 B. 2.(2014²新余高一检测)若 A(3，-2)，B(-9，4)，C(x，0)三点共线，则 x=(
) A.1
B.-1
C.0
D.7 【解析】选 B.利用任意两点的斜率相等，kAB=- ，kAC= ，令 =- 得 x=-1 3 已知三点 A(1-a，-5)，B(a，2a)，C(0，-a)共线，则 a=________. 【解题指南】当三点共线时，若直线斜率存在，则 kAB=kBC，若斜率不存在，则三点横坐标相同. 【解析】①当过 A，B，C 三点的直线斜率不存在时， 即 1-a=a=0，无解. ②当过 A，B，C 三点的直线斜率存在时，
则 kAB= =kBC= ， 即 =3，解得 a=2. 综上，A，B，C 三点共线，a 的值为 2. 答案：2 4.(2013²济南高一检测)直线 l 过定点 C(0，-1)，斜率为 a 且与连接 A(2，3)，B(-3，2)的线段相交，则 a 的取值范围是(
)
A.[-1，2]
B.(-∞，-1]∪[2，+∞) C.[-2，1]
D.(-∞，-2]∪[1，+∞) 【解析】选 B.直线 l 过定点 C(0，-1).当直线 l 处在 AC 与 BC 之间时，必与线段 AB 相交，应满足 a≥ 或 a≤ ，即 a≥2 或 a≤-1. 5.(2014²济源高一检测)直线 l 经过 A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线 l 的斜率的取值范围是(
) A.[1，+∞)
B.(-∞，+∞) C.(-∞，1)
D.(-∞，1] 【解析】选 D.由于直线 l 经过点 A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)，根据两点的斜率公式可知：kAB= =1-m2， 因为 m∈R，m2≥0，所以-m2≤0，即 1-m2≤1，则有 kAB≤1， 所以直线 l 的斜率的取值范围是(-∞，1]. 二、填空题. 6.(2014²扬州高一检测)若直线(a2+2a)x-y+1=0 的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是________. 【解析】因为直线(a2+2a)x-y+1=0 的倾斜角为钝角，所以 k=a2+2a<0，-2<a<0. 答案：(-2，0) 7.(2014²铜川高一检测)若直线的斜率为 k，并且 k=a2-1(a∈R)，则直线的倾斜角α的范围是________. 【解析】因为 a2-1≥-1，即 k≥-1.所以 l 的倾斜角α的范围是 0°≤α<90°或 135°≤α<180°. 答案：0°≤α<90°或 135°≤α<180° 8.若三点 A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则 + =________. 【解析】由于点 A，B，C 共线，则 kAB=kAC， 所以 = .所以 ab=3a+3b.即 + = . 答案：
三、解答题. 9.(2014²南昌高一检测)过两点 M(a2+2，a2-3)，B(3-a-a2，2a)的直线 l 的倾斜角为 45°，求 a 的值. 【解析】由题意得：直线 l 的斜率 k=tan45°=1，
故由斜率公式得 k= =1， 解得 a=-1(舍去)或 a=-2. 10 已知直线 l 的倾斜角为 30°，且过点 P(1，2)和 Q(x，0)，求该直线的斜率和 x 的值. 【解析】该直线的斜率 k=tan30°= . 又 l 过点 P(1，2)和 Q(x，0)， 则 = ，解得 x=1-2 . 11.从 M(2，2)射出的一条光线，经 x 轴反射后过点 N(-8，3)，求反射点 P 的坐标. 【解题指南】根据入射光线与反射光线之间的关系，找到直线 MP 与 NP 的斜率间的关系即可. 【解析】如图. 设 P(x，0)，因为入射角等于反射角， 所以 kMP=-kPN，即 = ， 解得 x=-2， 所以反射点 P(-2，0). B B 组
一、选择题. 1.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是(
) A.所有的直线都有倾斜角和斜率 B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D.所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【解析】选 B.当直线的倾斜角为直角时，不存在斜率.但所有的直线都有倾斜角，故选 B. 2.(2014²商洛高一检测)已知直线 l 过 A(-2，(t+ )2)，B(2，(t- )2)两点，则此直线的斜率和倾斜角分别为(
) A.1，135°
B.-1，-45° C.-1，135°
D.1，45° 【解析】选 C.因为 k= =-1，所以直线的倾斜角是钝角，又 tan45°=1，所以直线的倾斜角为 180°-45°=135°. 3.(2014²西安高一检测)直线 l 经过 A(2，1)，B(1，-m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角α的范围是(
) A.0°≤α≤45°
B.90°<α<180° C.45°≤α<90°
D.90°<α≤135° 【解析】选 C.直线 l 的斜率 k=tanα= =m2+1≥1，所以 45°≤α<90°. 4 若 ab<0，则过点 P(0，- )与 Q( ，0)的直线 PQ 的倾斜角α的取值范围是________.
【解析】因为 kPQ= = ，又因为 ab<0，所以 kPQ<0.所以α为钝角，即 90°<α< 180°. 答案：90°<α<180° 5.将直线 l 向右平移 4 个单位，再向下平移 5 个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(
) A.
B.
C.-
D.- 【解析】选 C.设点 P(a，b)是直线 l 上的任意一点，当直线 l 按题中要求平移后，点 P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a+4，b-5)，由题意知这两点都在直线 l 上，所以直线 l 的斜率 k= =- . 二、填空题 6 三点 A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数 b 满足的条件是________. 【解析】由题意得 kAB≠kAC，则 ≠ ，整理得 b≠ . 答案：b≠
7.已知直线l的倾斜角为α=45°，点P1(2，m)，P2(n，5)，P3(3，1)在直线l上，则m=________，n=________. 【解题指南】条件中直线的倾斜角已知，可以考虑倾斜角与斜率的关系构造方程求解. 【解析】因为α=45°，所以直线的斜率 k=1， 又点 P1(2，m)，P2(n，5)，P3(3，1)在直线 l 上， 所以 = =1，即 = =1， 解得 m=0，n=7. 答案：0 7 三、解答题. 8.(2014²临沂高一检测)a 为何值时，过点 A(2a，3)，B(2，-1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？ 【解题指南】根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角，则 k>0，若为钝角，则 k<0，若为直角，则斜率不存在. 【解析】当过点 A，B 的直线的倾斜角是锐角时，kAB>0，根据斜率公式得 kAB= = >0， 所以 a>1； 同理，当倾斜角为钝角时，kAB<0，即 <0， 所以 a<1. 当倾斜角为直角时，A，B 两点的横坐标相等，即 2a=2，所以 a=1. 9.设直线 l 过点 A(7，12)，B(m，13)，求直线 l 的斜率 k 及倾斜角α的范围. 【解题指南】根据斜率公式求出斜率的范围，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围，注意斜率公式应用的前提条件. 【解析】(1)当 m=7 时，直线 l 与 x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为 90°.
(2)当 m≠7 时，k= = . 当 m>7 时， >0，即 k>0，0°<α<90°； 当 m<7 时， <0，即 k<0，90°<α<180°. 10 已知 A(2，4)，B(3，3)，点 P(a，b)是线段 AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k= (x2≠x1).求 的取值范围. 【解析】设 k= ，则 k 可以看成点 P(a，b)与定点 Q(1，1)连线的斜率.如图，当 P 在线段 AB 上由 B 点运动到 A 点时，PQ 的斜率由 kBQ 增大到 kAQ， 因为 kBQ= =1，kAQ= =3， 所以 1≤k≤3，即 的取值范围是[1，3].
C C 组
1．已知 A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线 AB 与直线 CD 平行，则 m 的值为(
) A．1
B．0
C．0 或 2
D．0 或 1 解析：D [当 AB 与 CD 斜率均不存在时，m＝0，此时 AB∥CD，当 kAB＝kCD 时，m＝1，此时AB∥CD．] 2．若直线 l1、l2 的倾斜角分别为α1、α2，且 l1⊥l2，则有(
) A．α1－α2＝90°
B．α2－α1＝90° C．|α2－α1|＝90°
D．α1＋α2＝180° 解析：C 3．顺次连接 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是(
) A．平行四边形
B．直角梯形 C．等腰梯形
D．以上都不对 解析：B [kAB＝kDC，kAD≠kBC，kAD²kAB＝－1，故构成的图形为直角梯形．] 二、填空题 4．如果直线 l1 的斜率为 a，l1⊥l2，则直线 l2 的斜率为________． 解析：－ 1a 或不存在
5 直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 是关于 k 的方程 2k2－3k－b＝0 的两根，若 l1⊥l2，则 b＝________；若 l1∥l2，则 b＝________．
解析：2 － 98
若 l1⊥l2，则 k1k2＝－b2 ＝－1，∴b＝2．
若 l1∥l2，则 k1＝k2，Δ＝9＋8b＝0，∴b＝－ 98 ． 6 已知直线 l1 的倾斜角为 60°，直线 l2 经过点 A(1， 3)，B(－2，－2 3)，则直线 l1，l2 的位置关系是____________
解析：平行或重合
由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 60°＝ 3， 直线 l2 的斜率 k2＝ －23－ 3－2－1＝ 3，因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1，l2 重合． 三、解答题 7．已知△ABC 的顶点坐标为 A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求 m的值． 解 kAB＝ －1－15－1＝－ 12 ，kAC＝－1－m5－2＝－ m＋13， kBC＝ m－12－1 ＝m－1． 若 AB⊥AC，则有－ 12 ² － m＋13＝－1， 所以 m＝－7． 若 AB⊥BC，则有－ 12 ²(m－1)＝－1， 所以 m＝3． 若 AC⊥BC，则有－ m＋13²(m－1)＝－1， 所以 m＝±2． 综上可知，所求 m 的值为－7，±2,3． 8．已知四边形 ABCD 的顶点 A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形． 解
∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情形：
(1)AB∥CD，AB⊥AD， 由图可知：A(2，－1)． (2)AD∥BC，AD⊥AB， kAD＝kBCkAD²kAB＝－1⇒ n－2m－2 ＝3－1n－2m－2 ²n＋1m－5 ＝－1 ∴ m＝ 165n＝－ 85．综上 m＝2n＝－1或 m＝ 165n＝－ 85