闭区间套定理的应用及推论

【摘要】介绍闭区间套定理及其证明方法，给出开区间套定理的正确表述，近一步讨论区间套定理在证题中的应用。

【关键词】闭区间套；开区间套；应用

【中图分类号】O172【文献标识码】A【文章编号】1001-4128(2011)02-0171-03

作者简介：孙雪梅,副教授。

1 闭区间套定理

在实数连续性的描述中，闭区间套定理是数学分析的一个基本定理。

定义1：设｛[an,bn]｝(n1)是R中的闭区间，如果满足：

（1）[an+1,bn+1][an,bn] (n1)；

（2）limn→∞(bn-an)=0

则｛[an,bn]｝叫做R中的一个闭区间套

定理1：（闭区间套定理）设有闭区间列｛[an,bn]｝，若：

（1）[a1,b1][a2,b2]L[an,bn]L

（2）limn→∞(bn-an)=0，

则存在唯一实数 属于所有闭区间（即I∞n=1[an,bn]=L且limn→∞an=limn→∞bn=L

证一：应用公理证明闭区间套定理

证明：由条件1）数列{an}单调增加有上界b1，数列{an}单调减少有下界a1，即：

a1a2LanLbnLb2b1根据公理，数列{an}收敛，设limn→∞an=L由条件2）有limn→∞b=limn→∞(bn-an+an)=limn→∞(bn-a2)+limn→∞an=0+L=L，于是limn→∞an=limn→∞bn=L

对于任意取定的k∈N+ n>k有akan

aklimn→∞an=L=limn→∞bnbk或

akLbk即L属于所有的闭区间。

证明L的唯一性，假设还有一个L′也属于所有的闭区间，从而n∈N+有

L,L′∈[an,bn]，有｜L-L′｜bn-an，由条件2）有L=L′即L是唯一的，证毕。

证二：用柯西收敛准则证明

∵limn→∞(bn-an)=0,∴对ε>0,N,当n>N时，bn-an<ε，当m>n时， am∈[an,bn],有｜am-an｜<ε，由柯西收敛准则的充分性，得limn→∞an=L，又由limn→∞(bn-an)=0知有limn→∞bn=L

下证L∈[an,bn](n=1,2,3,…)，若否假设L[ak,bk]，k为某自然数，则与n>k时

L

证三：用收剑子列定理证明

Q数列a1,a2,L,an,L有界，故必有收敛子列{ank},limn→∞ank=L即对ε>0，存在自然数k0，当k>k0时，有｜ank-L｜<ε令N=nk0+1，当n>N时，由于n1k0)使nk

证四：用有限覆盖定理证明

假设闭区间套定理不成立，即若闭区间[a1,b1]任一点x不属于整个闭区间[am,bm]，从而存在点x 的领域V(x,δx)使V(x,δx)I[am,bm=]，由于[a1,b1]Ix∈[a,b]V(x1,δx)根据有限覆盖定理，必有[a1,b1]U∞K=1V(xk,δxk)(其中U(xk，δxk)I[aik,bik]=,k=1,2,L,n,ik∈Nik2)设max{i1,i2,…,in}=j

由于闭区间套条件1）有∩∞K=1(aik,bik)=[aj,bj]于是k∈[1,2,L,n}有V(xk,δxk)I[aj,bj]=即U∞K=1V(xK,δxK)I[aj,bj]=，这样一方面[a1,b1]U∞K=1V(xK,δxK)另一方面U∞K=1V(xK,δxK)又不包含[aj,bj][a1,b1]矛盾，证毕。2

2 关于开区间套定理

定理2：（开区间套定理）若开区间列｛（an,bn）｝满足：

（1）n∈N+有（a1,b1)(a2,b2)…(an,bn)…

（2）limn→∞(bn-an)=0

则存在唯一实数L，L=limn→∞an=limn→∞bn

证明：根据条件（1）和（2），由定理1显然有结论L=limn→∞an=limn→∞bn且L∈I∞n=1[an,bn]证毕。

显然与定理1比较，由于开区间列的构成结构，定理2只能保证L点的存在性，而不能保证

L∈I∞n=1(an,bn)例如：开区间列E1={(0,1n}和

E2={(1-1n,1)}均满足定理2的条件，

但L1=0∩(0,1n),L2=1∩(0,1n,1)要保证L的存在区间，只需将定2的条件（1）加强即可得到：

推论1：若开区间列｛（an,bn）｝满足

（1）(a1,b1)(a2,b2)…(an,bn)…,且端点所成数列

{an}{bn}是严格单调的，即a1

（2）limn→∞(bn-an)=0

则存在唯一数L属于所有开区间（即I∞n=1(an,bn)=L），且limn→∞an=limn→∞bn=L

证明：构造一个闭区间列{[an,bn]}(n=1,2,…)。

设an′=an+an+12,bn′=bn+bn+12,n=1,2,…有[a′,b′][a2′,b2′]…[an′,bn′]…，

且有limn→∞(bn′-an′)=limn→∞(bn+an2+bn+1-an+12)=0

由闭区间套定理。存在唯一数L属于所有闭区间，[an′,bn′](n=1,2,3,…),显然这个唯一数L也属于所有开区间(an′,bn′)(n=1,2,3,…)且有

limn→∞a1n=limn→∞b1n=L但

limn→∞an=limn→∞a1n-1+a1n2=L=limn→∞b1n-1+b1n2=limn→∞bn所以也有

limn→∞an=limn→∞bn=L

下面我们把推证1加以推广

推论2：设有半开半闭区间列{(an,bn)}(n=1,2,…)数列{an}为非常数数列，且有

（1） (a1,b1](a2,b2]…(an,bn]…;

（2）limn→∞(bn-an)=0

则存在唯一数L属于所有半开闭区间(an,bn]，且limn→∞an=limn→∞bn=L

证明：构造一个闭区间列{[an′,bn]}(n=1,2,…}a′=an+an+12满足闭区间套定理的条件，于是存在唯一数L属于所有闭区间[an′,bn]，显然这个唯一数L也属于所有半开半闭区间(an,bn]，且有limn→∞a1n=limn→∞bn=L，从而也有limn→∞an=limn→∞bn=L证毕。

把半开半闭区间(an,bn](n=1,2,L)换成[an,bn)(n=1,2,…)显然有

推论3：设有半开半闭区间{[an,bn]}(n=1,2,…)数列{bn}非常数数列，

且有：

（1） [a1,b1][a2,b2]…(an,bn]…;

（2）limn→∞(bn-an)=0

则存在唯一数L属于所有半开半闭区间[an,bn)，且limn→∞an=limn→∞bn=L。

推论4：设有半开半闭区间列{(an,bn)}(n=1,2,…){an}非常数数列，设bn=b，

且有：

（1） [a1,b][a2,b]…(an,b]…;

（2）limn→∞(b-an)=0

则存在唯一数b属于所有半开半闭区间(an,b]，且limn→∞an=b

证明：构造一个闭区间列{[an′,bn]}(n=1,2,…)设an′=an+an+12n=1,2,…。

则闭区间列{[an′,b]}满足闭区间套定理的条件，于是存在唯一数L属于所有闭区间[an′,b]且limn→∞an′=L，但由（2）知limn→∞an=b，且

limn→∞a1n=limn→∞an+an+12=limn→∞12(an+an+1)=12b+

12b=b，故L=b。

推论5：设有半开半闭区间列{[a,bn)}(n=1,2,L)，{bn}非常数数列，

且有：（1） [a,b1][a,b2]…(a,bn]…;

（2）limn→∞(bn-a)=0

则存在唯一数a属于所有半开半闭区间[a,bn)，且limn→∞bn=a

推论4和推论5是一种特例，不但存在唯一数L属于所有半开半闭区间列(an,b]或[a,bn)n=1,2,…，而且这个唯一数L就是端点a或b，需要注意的是，半开半闭区间{(an,b)}与{[a,bn]}的常数端点一侧必须是闭的，当然，若闭区间列的一个端点是常数a或b也有类似的结果。

3 闭区间套定理的应用

在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题需要找到具有某种性质P的一个数，常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来，证明中，区间套定理的构造方法，主要有以下两种：

(1)已知特殊点的存在区间时，利用两分法构造区间，进而套出所求特殊点，首先构造一个具有性质P*的闭区间，性质P*要根据性质P来确定，其次通常采用二等分法将此区间二等分，至少由一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性P*的闭区间列，根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的数

例1：证明实轴上任一有界无限点集至少有一个聚点（聚点定理）

证明：设E为有界无限点集，则存在M>0，使得E[-M,M]记[a1,b]=[-M,M]，将[a1,b1]等分：[a1a1+b12],[a1+b12b1],其中至少有一区间含有E中无限多个点，记该区间为[a2,b2]，再对[a2,b2]等分，相似的讨论下去，则得到区间列{[an,bn]}，它满足[an,bn][an+1,bn+1](n=1,2,…,bn-an=M2n-1→0)，故{[an,bn]}构成闭区间套，且其中每一个区间都含有Ｅ中无限多个点，由闭区间套定理，存在实数L∈[an,bn](n=1,2,…)显然对ε>0,N>0当n>N时，有[an,bn]U(L,ε)即L为E的一个聚点。

例2：证明若f(x)为[a,b]上的连续函数，f(a)f(b)<0，则x0∈(a,b)便得f(x0)=0，（根的存在性定理）

证明：不妨设f(a)<0,f(b)>0,且x∈[a,b],f(x)≠0, 记[a1,b1]=[a,b]，将[a1,b1]二等分，[a1,a1+b12],[a1+b12,b1],当f(a1+b12>0时，记 [a2,b2]=[a1,a1+b12]当f(a1+b12)<0记[a2,b2]=[a1+b12,b1] 则f(a2)f(b2)<0相似的讨论下去，则得到区间列{[an,bn]}，它满足[an,bn][an+1,bn+1](n=1,2,…,bn-an=b-a2n-1→0)

故{[an,bn]}构成区间套，且在每个闭区间[a,b]有f(an)f(bn)<0，由闭区间套定理知存在x0∈[an,bn](n=1,2,…)limn→∞an=limn→∞bn=x0，而x0∈[a,b]故f(x0)≠0，不妨设f(x0)>0，一方面，由连续函数保号性，δ>0，当｜x-x0｜<δ,即x∈(x0-δ,x0+δ)有f(x)>0，另一方面，当n从分大时，有[an,bn](x0-δ,x0+δ)，已知，f(an)f(bn)<0，即函数f(x)在(x0-δ,x0+δ)中某点的函数值小于0，矛盾，于是f(x0)>0，且f(x0)≠0，同理证f(x0)<0且f(x0)≠0,所以闭[a,b]内至少存在一点，使f(x0)=0

例3：用区间套定理证明有界定理

证明： f(x)在[a,b]上无界，则等分[a,b]，即[a,b]=[a,a+b2]∪[a+b2,b]至少有一个子区间上f(x)无界，不妨为[a1,b1]，将[a1,b1]等分，则存在子区间[a2,b2]，使得f(x)在[a2,b2]上无界，依比类推，不断等分区间，则得到无穷闭区间列{[an,bn]}

（i） [a,b][a1,b1][a2,b2]…[an,bn]…

（ii） bn-an=b1-a12n→0,n→∞

（iii）f(x)有[an,bn]上无界，n∈N+

由（i）（iii）根据区间套定理，唯一L∈[a,b]使limn→∞an=limn→∞bn=L，而又由（iii）

n∈N+,xn∈[an,bn]使｜f(xn)｜>n，从而得到一点列{xn}及函数列{f(xn)}，且

xn→L,f(xn)→∞ n→∞，由数列极限与连续函数极限的关系应有xn→L,f(xn)→f(L)这与f(x)→∞矛盾，故假设不成立，从而有界性定理得证。

(2)首先根据不等式确定特殊点的存在区间，再利用区间的收缩套出所求特殊点，在证明中常结合反证法证明。

例4：证明：设{an}为数列，若对任意的ε<0，存在N>0，使得对m，n>N有｜am-an｜<ε，则数列{an}收敛（数列柯西收敛准则之充分条件）

分析：由已知条件可得存在N0>N，当n>N0时，有｜an-aN0｜<ε即在区间

[aN0-ε,aN0+ε]内含有{an}中几乎所有项，由极限定义可知数列{an}收敛点，必在其内部，此时只需利用区间套定理证明该点的存在性。

证明：由假设，存在N0>N，当n>N0时，有，即在区间[aN0-ε,aN0+ε]内含有数列{an}中几乎所有项。

令ε=12则存在N1,在区间[α1,β1]=[aN1-12,aN1+12]内含有{an}中几乎所有项，令ε=122则存在N2，在区间[α2,β2]=[aN1-122,aN1+122]内含有{an}中几乎所有项；依次令ε=123,124L则得到闭区间列{[αn,βn]}，满足：其中每个区间都含有{an}中几乎所有项；

[αn,βn][αn+1,βn+1](n=1,2,…,βn-αn12n-1→0)

显然{[αn,βn]}构成区间套，故L∈[αn,βn](n=1,2,3…)，且对任意的ε>0，存在N>0,使得对n>N,有[αn,βn]V(L,ε)，由极限定义，V(L,ε)内含有{an}中几乎所有项，即

limn→∞an=L。

例5：证明：若函数f(x)于(a,b)内有定义，x∈(a,b),邻域(x-δx,x+δx)，使f(x)在(x-δx,x+δx)内严格增加，则f(x)在(a,b)内亦严格增加。

证：假设f(x)于(a,b)内非严格增加，即x1,y1∈(a,b)，x1

[x1,x1+y12]=[x2,y2]，有f(x2)f(y2)或f(x1+y12)f(y1)时，记

[x1+y12,y]=[x2,y2]，有f(x2)f(y2)，再作

[x2,y2]=[x2,x1+y12]∪[x1+y12,y2]。其中必有一个小R间记为[x3,y3]，有f(x3)f(y3)，继续上述构造法，得到区间套{[xn,yn]}，且满足

f(xn)f(yn),n=(1,2,3L)根据区间套定理，α∈[xn,yn]n=(1,2,3L)由于已知条件对于α∈(a,b),(α-δa,α+δa),f(x)在(α-δa,α+δa)内严格增加，但当n0充分大时[xn0,yn0](α-δa,α+δa)一方面，由作法有f(xn0f(yn0)；另一方面f(x)在(α-δa,α+δa)内严格增加，两者矛盾，证毕。

例6：用区间套定理证明罗尔定理，从而证明微分中值定理。

证明：假设定理不成立，则L∈(a,b)，都有f′(L)≠0，若恒有f′(L)>0，则可知函数f(x)是严格单调上升的，又Qf(x)有[a,b]上连续，∴f(a)0,f′(b1)<0，若f′（a1+b12)=0，则定理得证；否则若f′(a1+b12)>0，则令a2=

a1+b12,b2=b1；若f′(a1+b12)<0，则令a2=a1,b2=a1+b12，依此类推，若f′(an+bn2)=0，则定理得证；若f′(an+bn2)>0，则令an+1=an+bn2,bn+1=bn，若f′(an+bn2)<0则令an+1=an,bn+1=an+bn2这样，若总不能得到f′(an+bn2)=0，则得到了一无穷闭区间列{[an,bn]}，显然

（i） [a,b][a1,b1][a2,b2]…[an,bn]…

（ii） bn-an=b1-a12n→0,n→∞

（iii）an,bn,f′(an)>0,f′(bn)<0

由条件（i）（ii）根据区间定理则有唯一点L∈[a1,b1]且an→L,bn→L,n→∞，但由（iii）应有f′(L)>0，且f′(L)<0矛盾，故这样的无穷闭区间列不存在。

因而在(a,b)中必存有一点L，使f′(L)=0，这样就证明了罗尔定理，然后用构造辅助函数的方法可以得到微分中值定理。

4 结束语

闭区间套定理是数学分析中一个重要定理，通过对其证明过程，推论及应用方面的研究，可以更为深刻的了解，如何通过构造区间，找出某些特殊存在的点来证明一些数学定理。

此定理不仅有数学教学中应用极为突出，在科学研究及日常生活中应用也很广泛，不仅推动了科学的发展，也给我们的生活带来了许多便利。

参考文献

[1] 陈传璋等.数学分析[上册].北京:高等教育出版社,1983年

[2] 张娓.区间套定理及应用[J].长沙大学学报,2000年第2期