摘 要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差
中图分类号O175文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)102-0180-01
1引言
泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。本文考虑一阶非线性中立型微分方程:
(1.1)
其中
在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
2基本定理
定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个
Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且
,(2.1)
则有。
证明 由(1.1)和(2.1)易得y"(t)≤0且最终不恒等于0。下面证明y(t)>0。假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)<β<0,其中β是负常数。于是,
。
由(1)有
,(2.2)
从而x(t)有界,且。因此,且存在一个
t1>T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。特别地,
β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)
显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。
由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。证毕。
3应用
定理2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。若微分不等式
没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。
证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有
,且,
即。在定理2的条件下,上述不
等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。于是,(1.1)所有的解都是振动的。证毕。
参考文献
[1]张炳根,泛函微分方程振动理论的发展.科学通报,1998,43:345--354.
[2]Wang,Qi-Ru., Oscillation criteria for first-order neutral differential equations.
Appl. Math. Lett.,2002,no.8,15:1025-1033.
[3]Hong-Wu Wu,Sui-Sun Cheng,Qi-Ru Wang. Distribution of zeros of solutions of functional.
differentiale quations. Applied Mathematics and Computation,2007,193:154-161.
[4]Wang, Q. R. Oscillation theorems for first-order nonlinear neutral functional differential equations. Computers Math. Applic., 2000,39:19-28.
作者简介
高爱平,女,硕士,数学讲师,从事常微分方程与动力系统研究。