摘 要：提出了一种利用模数、数模转换器、存储器来构造非线性函数电路，只要改变存储器的内容，可以很容易地实现任意非线性函数。把符号函数、三阶梯波函数、五阶梯波函数关系式写入存储器，将其嵌入到由运放、电容、精密可调电阻构成的线性系统中去，成功地实现了基于存储器的三阶JERK混沌电路单方向和多方向网格状混沌吸引子相图并给出了硬件实验结果。
关键词：JERK混沌系统; 非线性电路; 函数映射
中图分类号：TN711 文献标识码：A 文章编号：1672-1098(2010)04-0035-05
Experimental Research on Three-order JERK Chaotic Circuit Based on Memory
XU Wei
(Yancheng Biology Engineering Branch Jiangsu Union Technical Institute, Yancheng Jiangsu, 224005, China)
Abstract:A new method of nonlinear function circuit realization based on ADC, memory and DAC was proposed. By the method any nonlinear function can be easily realized by change contents in memory. Sign function, three-ladder wave function and five-ladder wave function formulae were read in memory and embedded into nonlinear circuits consisting of operational amplifiers, capacitors and adjustable resistors, by which phase diagram of one-way and multi-direction grid-like chaotic attractors of three order JERK chaotic circuit was successfully realized. The results of hardware experiment were given.
Key words: JERK system; nonlinear circuit; function mapping
众所周知，在混沌系统设计过程中，关键是如何构造非线性函数。根据混沌系统非线性函数的特性，人们找到并设计了Chua、Chen、JERK等混沌系统［1-3］电路，然而在构造这些电路的非线性函数基本上利用电容电感分立元件、乘法器和运算放大器特点来构造的，并已被国内外的混沌学者广泛接受［4］。随着混沌系统非线性函数复杂程度的增加，再通过上述方法来构造非线性函数就显得非常困难了，有些只能得到MATLAB的数值仿真结果，无法实现其硬件电路。鉴于此，本文提出一种基于存储器的非线性电路设计方法，把模拟信号通过模数转换器（A/D）转换为数字信号，对数字信号按照非线性函数的要求进行数字编码存入存储器中，将编码后的数字信号再通过数模转换器转换为需要的非线性函数值，以后只要改变该电路存储器的内容就可以很容易地实现任意非线性函数。这里以三阶JERK混沌系统为例，介绍其电路实现的新方法。
1 非线性电路的构造
1.1 模数转换器
转换器是将模拟信号离散化后得到相应的数字信号，本文选用常用的8位单极性模数转换器ADC0801构造非线性电路的模数转换部分［5］211。
根据三阶JERK混沌电路的数值仿真得知，混沌信号x、 y、 z的幅值是±5 V之间。 而模数转换器ADC0801的输入量只能是正极性输入， 所以必须将反馈的混沌信号通过运算放大器来构成加法电路提升输入信号的幅值，当反馈信号与±5 V参考电压相加时， 得到反馈输入信号范围在0＜x1＜+10 V，保证了正极性输入信号。由于ADC0801最大输入电压是+5 V， 必须再将得到的信号比例压缩1倍， 使得 VIN+输入引脚信号范围在0＜x2＜+5 V之间。 为了使输入信号能够在确定的范围内正常转换， 基准电压输入端VREF/2必须悬空，即基准电压为+5 V。
为了使ADC0801能够独立的工作，CS片选信号、RD读控制信号接地，保证其始终有效。采用内部时钟采样，在CLK_IN和CLK_R引脚之间接一电阻R，再在CLK_IN与地之间接一电容C，产生振荡时钟，一般选取R=10 kΩ，C=15 pF，此时振荡工作的频率为f=11.1 RC。=640 kHz。
输入的模拟信号x经过A/D转换器时，转换的频率与混沌电路模块化设计中积分电路的积分时间常数有关，通常情况下积分电阻为20 kΩ，积分电容为33 nf，故积分时间常数为τ=20×103×33×10-9 s=660×10-6 s， 也就是说频率f1=1.5 kHz。根据奈奎斯特定理［6］得，为了使信号能够不失真转换，输入信号模数转换频率至少应为
f=2f1=3 kHz以上。换言之，A/D转换器的写入信号时间至少应在T＜13 kHz=0.3 ms以内，利用555定时器产生f=2f1=3 kHz的脉冲送入到WR引脚中去，同时连接到INTR引脚，完成一次模数转换。
在模数转换过程中为了保证参考电压精度，选用7805三端稳压器使其输出为稳定的+5 V电压，连接到加法电路的参考电压端、ADC0801电源电压引脚。
1.2 数模转换器
构造非线性函数电路最终需要的仍然是模拟信号，由于选择的存储器EPROM2764是8位输出，故该电路对应的数模（D/A）转换器［5］239输入数字量也应是8位。本文选择常见的8位单极性输出数模转换器DAC0832。
为了保证D/A转换器连续不断地进行数模转换，CS片选信号始终接地。当IEL引脚接高电平，WR1、WR2、XFER引脚接地，将8位数字量送到DAC0832中的寄存器中并启动数模转换，将得到转换后的模拟电流信号输出，然而混沌电路中需要的是电压量，必须将IOUT1引脚接运放反相输入端，IOUT1引脚接运放同相输入端，运放输出端接（反馈）到RFB引脚，基准电压VREF接+5 V，实现DAC0832输出端电流电压转换，其输出电压的范围在0≤g(x2)＜+5 V之间。而混沌信号的幅值是±5 V之间，所以再将输出电压通过比例电路使原信号放大一倍后送入参考电压为+5 V的减法电路中去，得到最终需要输出电压范围（-5 V＜x＜+5 V）。
1.3 存储器电路
根据8位模数、数模转换器，选择具有13位地址输入线和8位数据输出线的2764EPROM作为本电路的存储器［7］61，该存储器具有存储数据稳定，价格便宜等特点。
电路要求实现的是三阶JERK混沌电路，其非线性部分为阶梯波函数。以五阶梯波函数为例设计存储器的数据，x为混沌反馈输入信号，x2为A/D输入信号，g(x2)为D/A输出信号，F(x)为阶梯波函数值(见图1)。其函数关系式为
x2=x+52
F(x)=2g(x2)-5(1)
（1） 当输入信号-5≤x＜-3时， 送入A/D转换器信号0≤x2＜+1， D/A输出信号为g(x2)=0.5，F(x)=-4。
（2） 当输入信号-3≤x＜-1时，送入A/D转换器信号+1≤x2＜+2，D/A输出信号为g(x2)=1.5，F(x)=-2。
（3） 当输入信号-1≤x＜1时， 送入A/D转换器信号+2≤x2＜+3， D/A输出信号为g(x2)=2.5，F(x)=0。
（4） 当输入信号1≤x＜3时， 送入A/D转换器信号+3≤x2＜+4， D/A输出信号为g(x2)=3.5， F(x)=2。
（5） 当输入信号3≤x＜5时， 送入A/D转换器信号+4≤x2＜+5， D/A输出信号为g(x2)=4.5，F(x)=4。
图1 五阶梯波函数
由于模数转换器ADC0801输入模拟信号的范围x∈［0， 5］， 其最小转换间隔为Δx2=5/28=0.019 531 25，模数转换器的输出为二进制数，作存储器的输入地址。根据式（1），为了能够使电路按照五阶梯波的要求转换,计算出数模转换器DAC0832输出模拟量对应的输入数字量作为存储器数据输出， 其量化间隔为Δg(x2)=5/28=0.019 531 25，2764存储器的五阶梯波数据映射关系如表1所示。
由A/D转换器转换后的数字量作为存储器地址，D/A转换器转换前的数字量作为存储器数据，按照表1将五阶梯波数据映射关系［7］61写到EPROM2764中去。由于EPROM2764地址信号有13位，而ADC0801输出的数字量只有8位，所以必须将地址线的高5位接地。烧录到EPROM2764中数据必须是十六进制“.HEX”十六进制文件。考虑到8051单片机程序烧录到存储器中“.HEX” 文件是按字节存放的，故利用单片机KEIL［8］仿真软件从地址单元0000H处开始写数据，0000H~0032H地址单元写数据1AH，0033H~0065H地址单元写数据4DH，0066H~0099H地址单元写数据80H，009AH~00CCH地址单元写数据B3H，00CDH~00FFH地址单元写数据E6H，最后将其程序通过编译后产生需要的五阶梯波“HEX”文件。
将“HEX”文件烧录到EPROM2764，就可以实现五阶梯波函数电路。以后只要改变存储器中的内容，而不用修改具体电路，就可以很容易、很方便地实现任意非线性函数（见图2）。
图2 非线性函数电路［9］
2 电路实验
2.1 系统的通用模块化电路设计
根据三阶JERK混沌系统状态方程，采用通用模块化的设计方法［10］，在反相加法模块、反相积分模块和反相器模块基础上，通过基于存储器的非线性函数构造符号函数和阶梯波函数，再通过一级反相器构成反相的符号函数和阶梯波函数。
如果要实现三阶梯波函数，则只需要修改存储器的内容，将0000H~0065H地址单元写数据4DH，0066H~0099H地址单元写数据80H，009AH~00FF地址单元写数据B3H。同理，要构成符号函数，则将存储器0000H~0080H地址单元写数据66H，0081H~00FFH地址单元写数据9AH。
当存储器电路烧录不同的数据可以构成符号函数、三阶梯波函数、五阶梯波函数等非线性函数，能够实现JERK电路单方向多涡卷混沌吸引子相图及其网格多方向混沌吸引子相图。采用运算放大器构成的反相加法器、反相积分器和反相器模块来实现混沌电路的线性部分，电路中用到的所有运算放大器均为TL082。A/D转换器、D/A转换器、存储器构成混沌电路的非线性部分。线性与非线性部分完整组合可以实现基于存储器的三阶JERK混沌电路（见图3）。
（1） 当g2(y),g3(z)信号接地时，g1(x)=F1(x)时，F1(x)为阶梯波函数可以构成单方JERK混沌吸引子相图；
（2） 当g1(x)=F1(x)，g2(y)=F2(y),g3(z)信号接地时，F1(x)、F2(x)为阶梯波函数可以构成二方向JERK混沌吸引子相图；
（3） 当g1(x)=F1(x)，g2(y)=F2(y),g3(z)=F3(z)时，F1(x)、F2(x)、F3(x)为阶梯波函数可以构成三方向JERK混沌吸引子相图。
图3 三阶JERK系统的混沌电路通用设计
2.2 单方向混沌吸引子电路实验结果
根据不同的非线性函数，向基于存储器的非线性电路中写入不同映射关系式，可以很容易实现单方向多涡卷混沌吸引相图。
（1） 当输入的非线性函数为五阶梯波函数时，根据混沌电路通用模块化设计的方法，调节电阻Rb=7.8 kΩ，也就是令α=0.78，可以构成五涡卷混沌吸引子相图（见图4）。
图4 JERK五涡卷吸引子
（2） 当输入的非线性函数为符号函数时，调节电阻Rb=6.2 kΩ，也就是令α=0.62，可以构成双涡卷混沌吸引子相图（见图5）。
图5 JERK双涡卷吸引子
（3） 当输入的非线性函数为三阶梯波函数时，调节电阻Rb=7.0 kΩ，也就是令α=0.7，可以构成三涡卷混沌吸引子相图（见图6）。
图6 JERK三涡卷吸引子
2.3 多方向网格状混沌吸引子电路实验结果
同样的设计方法，当g1(x)=F1(x)，g2(y)=F2(y),g3(z)信号接地时，调节电阻Rb=7.2 kΩ，也就是令α=0.72。将x方向信号送入到三阶梯波电路F1(x)，y方向信号送入第二个三阶梯波函数电路F2(y)，可以构成二方向3×3涡卷吸引子相图（见图7）。
图7 二方向涡卷混沌吸引子相图
3 结束语
提出了一种基于存储器的非线性函数电路实现三阶JERK混沌电路新方法。利用模数转换后的数字信号作为存储器地址，将非线性函数关系式映射到EPROM存储器中，存储器中数据再通过数模转换器得到所需要的阶梯波函数、符号函数、正弦函数等。这种采用数模结合方法构成的混沌电路，随着非线性函数复杂程度的增加，可以在很大程度上降低非线性电路的设计难度，为实现各种非线性函数电路提供了一种新的思路。通过搭建模块化电路和基于存储器的非线性电路，成功地实现了三阶JERK电路单方向二涡卷、三涡卷、五涡卷的硬件实验结果，同时也给出了多方向网格状混沌吸引子的硬件实验结果。该实验与MATLAB数值仿真［11］、纯粹的模拟电路构成混沌信号或用数字器件［12］构成混沌序列结果是一致的。
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(责任编辑：何学华，吴晓红)