工程非线性振动分析，国内外学者均展开过大量的研究，主要方法有摄动法、多尺度法、谐波平衡法、平均法等[1]，但是对于铁道车辆系统，其相关研究较少。盛云，吴光强[2]采用增量谐波平衡法对汽车悬架系统的垂向非线性振动特性进行了分析，结果表明IHB法与数值方法符合情况较好。彭福泰[3]建立了空气弹簧的非线性模型，并采用谐波平衡法以及平均法对含有空气弹簧的铁道车辆二自由度系统进行了分析。尹万建[4]采用多尺度法，分析了汽车悬架的垂向非线性振动特性，并分析了该系统的超谐共振、亚谐共振等次共振以及内共振现象。在前人研究的基础上，本文建立了铁道车辆的二自由度以及单自由度的垂向非线性动力学的数学模型，采用多尺度法分析了其二自由度模型的主共振、以及单自由度模型的亚谐共振。
1 铁道车辆二自由度系统动力学模型
为对二自由度系统非内共振时的主共振进行分析，建立如图1所示的模型。
系统中二系悬挂刚度采用三次多項式拟合，拟合公式为
2.1 二系垂向阻尼对主共振的影响
图3中均为无量纲参数，从图中可以看出，随着二系垂向阻尼的减小，共振幅值逐渐增大，且共振峰向右移动，骨架线逐渐向右偏斜。
若继续减小二系垂向阻尼的取值为2000Ns/m，则会产生图4中的现象，当激振频率从A点左侧越过A时，会跳跃到B点，当从C点右侧越过C时，会跳跃到D点。这种振幅突然变化的现象称为跳跃现象，这是一种特殊的动态分岔，是非线性系统特有的现象之一[4]。
2.2 激励振幅对主共振的影响
分别取激励幅值F=0.001m，0.005m，0.01m，其余参数参照表1取值，代入式（2.13）进行计算，得到图5。
从图5中可以看出，随着激励振幅的增大，幅频曲线骨架会逐渐向右移动，振幅略有增大。
3 单自由度系统的亚谐共振
参照第一节，建立只包含二系悬挂系统的单自由度车体振动模型。
3.1 1/2次亚谐共振
3.2 1/3次亚谐共振
4 结论
本文建立了同时具有二次和三次非线性刚度的铁道车辆二自由度与单自由度垂向振动模型。
（1）采用多尺度法，在二自由度模型中分析了激振频率在车体固有频率附近的主共振，分析了其跳跃即动态分岔现象，并指出增大二系阻尼、减小激励振幅可以消除这种现象。
（2）在单自由度模型中分析了在激励频率远离固有频率时车辆系统的1/2次亚谐共振与1/3次亚谐共振，指出增大阻尼、减小非线性刚度、减小激励振幅可以阻止亚谐共振的发生。
参考文献：
[1]胡海岩.应用非线性动力学[M].北京：航空工业出版社，2000：57-96.
[2]盛云，吴光强.基于IHBM的汽车非线性悬架系统定量研究[J].同济大学学报（自然科学版），2011，39（03）：405-410.
[3]彭福泰.车辆空气弹簧悬挂系统动力学特性研究[D].兰州交通大学，2017.
[4]尹万建.汽车空气弹簧悬架系统的非线性动力学行为研究[D].北京交通大学，2007.
[5]张定贤.一种用于二系悬挂的新橡胶弹簧──沙漏式旁承弹簧[J].电力机车技术，1999（01）：7-9+13.
[6]姚建伟，孙丽霞.机车车辆动力学[M].北京：科学出版社，2014：201-202.