摘 要： 本文从实数完备性及数域扩充方面谈谈“趣味数域”，以激发高校大学生对更高深数学的学习兴趣及研究兴趣。
关键词： 实数完备性 数域扩充 实数 自然数
在小时候我们学数系都从数手指头开始，这就是自然数系，在自然数系N之后，有正有理数系（分数），然后推广到负数，因此有了整数全体，从整数再推广就是所有的有理数。这要如何介绍呢？一开始先有自然数，然后有分数，分数就是因为除不尽而产生的，也可说是为了要解如5x=3的方程式而产生。负数的出现是因为要解如x+7=2的方程式，亦即是要作2-7=-5的运算。因为要使运算成为可能就必须慢慢地把数系扩展，不扩展就没有办法，这是发展整个数系的一个动机。在运算上，从加减乘除一直做到有理数就完备了，因为加减乘除在有理数中都可以自由运算下去。
为什么会出现R？是因为x=2这个方程式在有理数系中没有解，可见有理数系是不够用的，所以出现了无理数；当然也因为x+1=0在实数系中不可解，所以出现了i，由此我们可以扩展到复数系。在从N扩展到有理数系Q是为了要使四则运算不受限制，解方程式也是一个很重要的原因。但由Q再扩展下去是否还是为了解方程式呢？
其实无理数的出现，不只是为了代数上的动机，在数学上还有其他种种理由。在初中，你可能用纯粹代数的理由来扩展数系，到了高中就不是了。到了高中，研究种种函数，如三角函数，指数、对数函数等，这是一个重要的主题：但在高中，还有一个重要的主题就是解析几何，即笛卡尔与费马所发明的坐标几何：用坐标的方法来做几何问题，所有几何问题都用坐标来解。这个办法与今天所谈的题目有密切的关系，它是数与图形的配合，也就是将代数与几何结合在一起。在平面解析几何中用两个数（x，y）来表示一点，立体解析几何用三个数（x，y，z）来代表一点，将来可以推广到n维空间，但最基本的还是在一维空间的图形，因为两维、三维……均可类推，一维空间的情形牵涉很广，如测量问题。它与实数的完备性有密切的关系。在数学史上量长度与坐标化是在直线上取0为原点，1为单位长，我们就可以在直线上点出2、3……还有“几分之几”。古时候是没有解析几何的，可是在古时候，坐标化的概念也是有的，但不明确。主要是在测量几何的度量问题，我们用尺，有刻度，量多少就是多少，但尺的刻度是怎么来的？这就是度量的理论，原则上这是用比较的方法。刚开始，古时候的人，只会用尺做单位，一尺一尺去量，这就是说整数都可以量，但是如果“比7尺多，比8尺少”他们就不会量了。慢慢地，他们就知道了刻度，用几尺几寸慢慢地刻，这就是比例的关系，用作平行线的方法来刻，这与平面几何有着密切的关系。当单位取定后，所有有理数都可以表达出来，尺寸都是十进制，但也可以用12进位，如1英尺=12英寸或其他进位，用这个办法，大致来说数与点的对应可达到一定的程度。
这里顺便提到希腊几何作图的三大难题：倍立方体（作一立方体使体积为原来的两倍），方圆问题（作一正方形使其面积等于一圆之面积），一般角三等分。希腊人用没有刻度的直尺和圆规，以有限次的步骤去刻出有理数所对应的点（有理点），借着比例、相似的概念，就可以做加减乘除的四则问题。在直线上所刻划的有理点与有理点之间还有密密麻麻的有理点，这就是有理数的稠密性。但现在还有一个问题，就是在直线上除了能刻划的有理点之外是否还有其它的点存在？（这问题很抽象，也不很实在，因为物理上的点都有宽度。）不过，有理点并未填满数线，也就是说：所有有理点并不能构成直线，像刚刚提到的，我们可看成：有一个数x是正的，且满足x=2，而希腊人都知道它不是正有理数，理论上这是一个无理点，但它是否存在，当时是有疑问的。这一直到毕达哥拉斯发现了勾股定理时，才确定了无理数的存在。实际上用圆规直尺就可以用来开方，因此从自然数出发，用直尺圆规，可以作出很多的数来，这些数都叫做规矩数（constructible number）。
古希腊的三个难题：“倍立方体”本质上是开立方，在代数的眼光看来是解x=2；方圆问题在代数上是解πr=a，本质上是讨论根号下π，π在一世纪之前已被证明是一个超越数；“一般角之三等分”本质上是解一元三次方程式，将角看成3θ，解sin3θ=3sinθ-4sinθ，在代数上等于解3x-4x=a。我们可以用卡丹（Cardano）公式解出来，本质上是要开立方。我们可以发现这个问题所解出来的数，用规矩是所作不出来的。这就是说规矩数在数线并不完备。
前面说过：“从小学到初中；都是用代数的眼光，为了解方程式才扩展数系”，但是由Q扩展到R，如果说是为了解x=2这个理由是相当牵强的，且让我们说明如下：设ax+bx-1+……+k=0为一有理系数方程式，我们可以用通分的办法使它变为整系数方程式，整系数方程式的根叫做代数数（Algebraic number），用A表代数数全体，如果以代数数作系数的方程式的根，有不在A中的，则A必须扩展至A1，以A1之数为系数作方程式，如仍有根不在A1中，则必须再扩展至A2，如此下去将得：A真包含于A1，A1真包含于A2，……可是事实上代数数系A就已完备了，即：A=A1，换句话说，代数系数方程式的根都是代数数，这就是代数数的完备性。所以，如果说是为了代数的理由而发展数系，应该是由Q扩展到A；但事实上i属于A而不属于R；而π属于R而不属于A；所以A不包含于R，且R不包含于A。因此，认为Q到R的扩张是为了代数的理由的说法并不恰当。
由有理数系扩至实数系这是为分析的理由。在高深的数学中，说明完备性有很多的办法，最主要的一种说法，最合乎直觉的，就是用解析几何的数与点的对应，将所有的有理点点在数在线，此外还有很多的点叫无理点，还要将它们加入，这样才会得到R。也就是说，有理点在数线上虽然密密麻麻，但不构成全部的数线，必须把“漏洞”补起来，才会得到R。还有别的种种说法，如狄悌铿分割（Dedekind Cut），它把有理数，分成两个集A，B，A∪B=Q，A≠θ，B≠θ，且A∩B=θ，使X∈A，Y∈B→X＜Y我们可以想象有以下四种可能：
（1）A中有最大（元素），B中有最小（元素）
（2）A中有最大（元素），B中没有最小（元素）
（3）A中没有最大（元素），B中有最小（元素）
（4）A中没有最大（元素），B中没有最小（元素）
在有理数中，情形（1）是不会发生的，其它三种均有存在之可能。如果cut（分割）出（4）的情形，即A中没有最大，B中没有最小，在Dedekind看来这就是一个缺陷（gap），不完备性就是指这一点，Dedekind理论就是由此出发，分割到有缺陷，就补上一点，如此下去将所有缺陷都补起来，这就得到了R。这么一来，可从Q扩展至R，R本身就完备了，这是实数系的完备性，也就是说我们对实数系作分割，一定没有刚刚的缺陷，也就是“A中没有最大，B中没有最小”这种情形是不存在的。“A中有最大，B中没有最小”，“A中没有最大，B中有最小”，两者必居其一。
当然实数系的完备性还有种种说法；假设｛xn｝是一个递增的有理数列，而且有上界，那么｛xn｝一定有极限，这个说法与Dedekind Cut有密切的关联，也就是这个极限如果不是有理数，就要补上去这一点。学实数的完备性是学微积分的基础。譬如说在讨论函数性质时，最重要的就是函数是否连续，连续性的意思是：若xn→α，则F（xn）→F（α）。实数的完备性使函数的连续性更有意义。有一个性质：若f在［a，b］上连续，则上一定有最大值与最小值。要证明这个性质，一定要用到实数的完备性。如果函数f（x）=（x-2）的自变量仅限于有理数中，照理f的最小值为0，也就是必须有一个无理数c=3存在，但在有理数系是没有完备性的，所以f没有最小值。
参考文献：
［1］华东师范大学.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，1981.
［2］复旦大学.数学分析［J］.北京：高等教育出版社，2006.
［3］李金龙等.数学分析辅导［J］.陕西：陕西理工学院报，2003.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”