摘 要 函数的最值问题在经济生活中具有实际意义。本文根据多年教学经验，选择了经济生活中常见的最值问题进行了详细的分析，并对其求解方法进行了探析。
关键词 函数最值 应用 经济生活
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
On the Use of Derivatives for Solving the Most Value Function
ZHAO Qinmei
（Hami Coal Secondary Vocational School， Hami， Xinjiang 839003）
Abstract Function most value problem has practical significance in economic life. Based on years of teaching experience， choose the economic life of the most common questions the value of a detailed analysis， and explores its solving methods.
Key words most function value； application； economic life
在经济生活中，往往需要在一定经济条件下合理配置资源，使得投入最小，产出最多，效益最高，也经常会遇到求利润最大化、用料最省、效率最高等问题。这些经济生活问题通常都可以转化为高等数学中函数问题来探讨，进而转化为求函数中最大（小）值的问题。以导数知识为工具研究函数的极值，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。
解决函数极值问题关键在于建立数学模型和目标函数。把“问题情景”译为数学语言，找出问题中的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。一般步骤有：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义。（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单。
1 最大利润问题
即当彩电售价为 = 4200元时，其需求弹性为富有弹性，此时适当降价不仅能增加销售量，扩大该企业的彩电在销售市场上占有的份额，同时也能减少产品的库存积存，减低库存成本，增加销售收入，给企业带来经济效益。
在此例中，通过教学的积极引导和支持，学生对这一类应用题的解法有了一个清晰的认识。在讲解时需要强调对函数求导和极值问题的分析和应用，需要学生熟练掌握函数求导。通过以上典型例题的研究和分析，能够让学生对利用导数求解极值问题有初步的认识，为接下来的学习奠定坚实的基础。
2 经济批量问题
经济批量问题是确定合理采购进货的批量，使库存费用和采购费用之和最小。如图1所示：
图1
如果某种商品的全年需求量为，全年分批采购，批量为，库存量为，为每采购一批货物所需要的采购费用，表示一个单位货物库存一年所需费用，为时间，为进货周期，则全年平均库存量为最大库存与最小库存之和的平均数。若表示全年采购次数，则其在数值上等于全年需求量与批量的商。
例2：某厂生产某种产品，其年销售量为100万件，每批生产需要增加准备费1000元，而每件的一年库存费为0.05元.如果年销售率为平均的，且上批售完后立即生产出下批（此时商品的库存数为批量的一半），问应分为几批生产，能使采购费用及库存费之和最小？
问题分析：此题的易错点是对题目理解不透彻，概念理解有偏差，对采购费用、总费用、库存费用三者之间的关系理解不清，计算错误。关键是确定总费用的构成要素，根据各个构成要素确定求解方法。
即分5批生产，总费用最小。
例二在实际生活中不是很常见，在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考虑问题的实际意义。解决问题的过程实际上是一个典型的数学建模过程，所以对此定义和公式须给予详细的解释和说明，要引导学生注重把实际问题抽象成数学问题，并选择适当的方法求解，要考虑符合问题的实际意义，掌握此类题型解题的基本步骤。
例3：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？
问题分析：当租金定为每月180元时可全部出租，但租金可能太低，当月租高于180元会有房子租不出去，所以为了获得最大收入，要找最佳租出点。
解：设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为：
当 = 0时，= 350（唯一驻点），故每月每套租金为 350 元时收入最高，最大收入为=（）（）=10890（元）。
例3跟生活结合非常紧密，首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。根据题意建立目标函数，寻找各个条件之间的联系，让学生充分利用已学知识去分析解答此类问题，对提高学生的逻辑思维能力和推理能力具有重要意义。
3 总结与反思
在实际应用当中，求解最值问题时首先要建立目标函数，要认真分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，也就是建立适当的数学模型，以更好地匹配实际问题，从而利用导数来得到实际问题的解。在求实际问题的最值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去。
根据目标函数求解极值，求驻点和不可导点，求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个最大就是最大值，哪个最小就是最小值。若目标函数只有唯一驻点，则该驻点函数值为所求极值。即如果区间内只有一个极值，则这个极值就是最值。
通过对以上三个例题的探究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高。让学生体会到了数学来源于生活，又应用于生活。通过生活中极值问题的求解，体会了导数在解决实际问题中的作用，促进了学生全面认识数学的科学价值和文化价值。
总之，导数在解决现实生活中的很多问题时使用非常方便，尤其是可以使用导数解决生活中的很多优化组合的问题，这些问题转化为求函数的最值问题，运用导数求解，很大程度上简化了我们的过程，缩短了步骤，起着非常重要的作用。还可以与解析几何相联系，可以在知识网络交汇处设计问题。因此，在实际生活中，要学会应用导数的作用。
参考文献
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