摘 要：数学类课程是数学专业以及工科类的重要基础课程，通过简述理论，对些许典型性的题目剖析、求解。用宏观视觉对该类课程进行综述，阐述知识间联系，简要介绍函数积分若干问题，加深了积分的理解，对提高分析能力有一定的作用。
关键词：数学类课程 勒贝格积分 黎曼积分
积分若干问题
在实分析中，由德国著名数学家黎曼创建的黎曼积分理论，并且初次对函数在给确定区间上的积分了下一个准确定义，他对数学分析理论、微分几何理论方面做出了重大的贡献，其中一部分理论为后续广义相对论的研究开辟了道路。同时黎曼积分在理论研究过程中些许不尽人意处经过多年发展，由著名的黎曼-斯蒂尔杰斯积分以及勒贝格积分得到更新扩充，弥补了漏洞。黎曼积分的核心算法就是尝试通过无限逼近来估定积分值，并且一般情况下，若果可积函数取负值，那么对应的面积值也要取负值。数学分析课程中中出现最早的积分是牛顿积分，牛顿积分是导数的逆运算。记：
为牛顿积分。由于没有图的原理和方式，求分段函数有困难。直到黎曼积分出现，即1）在函数区间（区域）分割；2）对分割T作黎曼和；3）当分割 取极限；分割过程中T具备任意性，并且对任何一个分割T上 取任意
；唯一性指对于黎曼和任意选取两个极限的唯一。为了黎曼可积基础知识研究，我们给出三个一般定义：
面对黎曼可积的函数群体，在闭区间 上连续函数是它的充分条件，还有两个可积的充分条件单调有界函数或者有有限个间断点的有界函数，当然黎曼可积的必要条件指函数有界。对于黎曼积分理论来说，在开区间 和闭区间 上函数可以积分都是几乎不影响的。这是由于改动了函数在闭区间 上有限个点后函数值，但细分割后，唯一性和任意性等因素就不会影响可以积分的性质和积分值，调用Jordan-零集理论后，该情况发生改善，改变函数在J-零集上的值，不会影响其可积性和积分值的结果。令我们注意的是J-零集不是一般实分析中的零测度集，即使J-零集必然是零测度集。因为不是所有的零测度集都是J-零集。改动了函数在零测度集上的函数值，可能会改动函数的可积性。例如：
我们知道黎曼积分几何意义简明，公式容易。但只在区间上积分并对积分极限定理要求严格。函数的原函数存在，不一定黎曼可积；反之，黎曼可积，原函数不一定存在。
由于黎曼积分的上述局限性，1904年法国数学家昂利·勒贝格 （Lebesque）命名了勒贝格积分。勒贝格积分是现代数学著名的积分理论分支，将积分运算发展到任意测度空间中。即使在很简易的状况中，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。当今时代勒贝格积分有2层意思，分别是狭义、广义。广义指的是对于一个测度而规定的函数积分。狭义却表达的相对于勒贝格测度在实直线或者更高维数的欧氏空间的一个子集中定义的函数的积分。勒贝格积分对函数值域分割求得积分和，从而推广到一般抽象测度空间 ，X表空间，R 表X子集构成的集类环，μ是R上测度。
勒贝格（Lebesque）积分也有不尽人意处，如在积分为导数的逆运算有局限。如 ，对变上限积分而言，因 不一定成立积分为导数的逆运算不成立。因为一个函数的导函数未必可积。如
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作者简介：朱怀朝，1986年10月，男，陕西西安人，硕士，助教，研究方向：数学与计算机模拟。